Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^3 transformações lineares, dadas por
T(x, y, z)=(x+y+2 z, 2 x+y) e S(x, y)=(-x+y, 2 x-y, 0)
Determine [T circ S]alpha^alpha onde alpha é a base canônica de R^2.

Passo 1

No enunciado, temos duas transformações lineares T(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y) e S(x, y) = (-x + y, 2x - y, 0) e , definidas por:
Nosso objetivo é encontrar a matriz da transformação composta na base canônica de . Para isso, vamos precisar saber como representar transformações lineares por meio de matrizes e como compor essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) e T(e1) = T(1, 0, 0) = (1 + 0 + 0, 2 cdot 1 + 0) = (1, 2) por suas matrizes nas bases canônicas. A matriz de uma transformação linear pode ser encontrada aplicando a transformação aos vetores da base e organizando os resultados como colunas.
Para T(e2) = T(0, 1, 0) = (0 + 1 + 0, 2 cdot 0 + 1) = (1, 1) , a base canônica de T(e3) = T(0, 0, 1) = (0 + 0 + 2 cdot 1, 2 cdot 0 + 0) = (2, 0) é [T]alpha^beta = 1 & 1 & 2 2 & 1 & 0 , onde:
f1 = (1, 0), f2 = (0, 1)
Aplicando S(f1) = S(1, 0) = (-1 + 0, 2 cdot 1 - 0, 0) = (-1, 2, 0) a cada vetor da base:
S(f2) = S(0, 1) = (-0 + 1, 2 cdot 0 - 1, 0) = (1, -1, 0)
[S]alpha^alpha = -1 & 1 2 & -1 0 & 0
Assim, a matriz de na base canônica é:
Para , a base canônica de é , onde:
Aplicando a cada vetor da base:
Assim, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora que temos as matrizes de [T circ S]alpha^alpha = [T]alpha^beta cdot [S]alpha^alpha e , vamos encontrar a matriz da transformação composta . A propriedade das matrizes de transformações lineares nos diz que:
Isso significa que devemos multiplicar a matriz de pela matriz de .

Passo 4

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
[T] = 1 & 1 & 2 2 & 1 & 0 , [S] = -1 & 1 2 & -1 0 & 0
A multiplicação de [T circ S] = [T] cdot [S] = 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 2 cdot 0 & 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 2 cdot 0 2 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 0 cdot 0 & 2 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 0 cdot 0 por (T circ S)11 &= 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 2 cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1 (T circ S)12 &= 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 2 cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0 (T circ S)21 &= 2 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 0 cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0 (T circ S)22 &= 2 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 0 cdot 0 = 2 - 1 + 0 = 1 resulta em uma matriz [T circ S] = 1 & 0 0 & 1 de tamanho :
Calculando cada elemento:
Portanto:

Resposta

A matriz da transformação composta [T circ S]alpha^alpha = 1 & 0 0 & 1 na base canônica de é a matriz identidade de ordem :

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