No enunciado, temos duas transformações lineares e , definidas por:
Nosso objetivo é encontrar a matriz da transformação composta na base canônica de . Para isso, vamos precisar saber como representar transformações lineares por meio de matrizes e como compor essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar e por suas matrizes nas bases canônicas. A matriz de uma transformação linear pode ser encontrada aplicando a transformação aos vetores da base e organizando os resultados como colunas.
Para , a base canônica de é , onde:
Aplicando a cada vetor da base:
Assim, a matriz de na base canônica é:
Para , a base canônica de é , onde:
Aplicando a cada vetor da base:
Assim, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora que temos as matrizes de e , vamos encontrar a matriz da transformação composta . A propriedade das matrizes de transformações lineares nos diz que:
Isso significa que devemos multiplicar a matriz de pela matriz de .
Passo 4
Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
A multiplicação de por resulta em uma matriz de tamanho :
Calculando cada elemento:
Portanto:
Resposta
A matriz da transformação composta na base canônica de é a matriz identidade de ordem :