Sejam e transformações lineares, dadas por
Determine onde é a base canônica de .

Passo 1

No enunciado, temos duas transformações lineares e , definidas por:
Nosso objetivo é encontrar a matriz da transformação composta na base canônica de . Para isso, vamos precisar saber como representar transformações lineares por meio de matrizes e como compor essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar e por suas matrizes nas bases canônicas. A matriz de uma transformação linear pode ser encontrada aplicando a transformação aos vetores da base e organizando os resultados como colunas.
Para , a base canônica de é , onde:
Aplicando a cada vetor da base:
Assim, a matriz de na base canônica é:
Para , a base canônica de é , onde:
Aplicando a cada vetor da base:
Assim, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora que temos as matrizes de e , vamos encontrar a matriz da transformação composta . A propriedade das matrizes de transformações lineares nos diz que:
Isso significa que devemos multiplicar a matriz de pela matriz de .

Passo 4

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
A multiplicação de por resulta em uma matriz de tamanho :
Calculando cada elemento:
Portanto:

Resposta

A matriz da transformação composta na base canônica de é a matriz identidade de ordem :

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Seja a transformação linear tal que
onde e são as bases canônicas de e , respectivamente. Determine .
Seja , definida por
Sejam e as bases canônicas de e , respectivamente, e . Encontre .
Seja a transformação linear definida por
Considere as bases ordenadas de e de . Determine:
(a) .
(b) .
© e .