Seja T um operador linear em um espaço vetorial V para o qual T^2=T. Mostre que:
Se T neq I, então T não é inversível.

Passo 1

Então, a gente tem um operador linear num espaço vetorial , e ele satisfaz a condição . Nosso objetivo aqui é mostrar que se é diferente do operador identidade , então não pode ter inversa, ou seja, não é inversível. Vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, operadores idempotentes e propriedades de operadores inversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se aplicarmos o operador duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez. Esse tipo de operador é chamado de operador idempotente. Na prática, isso implica que “estabiliza” após a primeira aplicação.

Passo 3

Agora, vamos supor que seja inversível. Se tem inversa, então existe um operador tal que , onde é o operador identidade.

Passo 4

Vamos usar a relação T^2 cdot T^-1 = T cdot T^-1 . Se T cdot (T cdot T^-1) = I é inversível, multiplicamos ambos os lados dessa igualdade pela inversa T cdot I = I :
T = I
Simplificando, temos:
Ou seja,
Portanto,

Passo 5

Chegamos à conclusão de que se for inversível, então necessariamente . Mas o enunciado afirma que é diferente de . Isso significa que nossa suposição de que é inversível leva a uma contradição. Logo, se , então não pode ser inversível.

Resposta

Se , então não é inversível.

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