Seja
um operador linear em um espaço vetorial
para o qual
. Mostre que:
Se
, então
não é inversível.
Se
Passo 1
Então, a gente tem um operador linear
num espaço vetorial
, e ele satisfaz a condição
. Nosso objetivo aqui é mostrar que se
é diferente do operador identidade
, então
não pode ter inversa, ou seja,
não é inversível. Vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, operadores idempotentes e propriedades de operadores inversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, se aplicarmos o operador
duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez. Esse tipo de operador é chamado de operador idempotente. Na prática, isso implica que
“estabiliza” após a primeira aplicação.
Passo 3
Agora, vamos supor que
seja inversível. Se
tem inversa, então existe um operador
tal que
, onde
é o operador identidade.
Passo 4
Vamos usar a relação
. Se
é inversível, multiplicamos ambos os lados dessa igualdade pela inversa
:
Simplificando, temos:
Ou seja,
Portanto,
Passo 5
Chegamos à conclusão de que se
for inversível, então necessariamente
. Mas o enunciado afirma que
é diferente de
. Isso significa que nossa suposição de que
é inversível leva a uma contradição. Logo, se
, então
não pode ser inversível.
Resposta
Se
, então
não é inversível.