Seja um operador linear em um espaço vetorial para o qual . Mostre que:
Se , então não é inversível.
Passo 1
Então, a gente tem um operador linear num espaço vetorial , e ele satisfaz a condição . Nosso objetivo aqui é mostrar que se é diferente do operador identidade , então não pode ter inversa, ou seja, não é inversível. Vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, operadores idempotentes e propriedades de operadores inversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se aplicarmos o operador duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez. Esse tipo de operador é chamado de operador idempotente. Na prática, isso implica que “estabiliza” após a primeira aplicação.
Passo 3
Agora, vamos supor que seja inversível. Se tem inversa, então existe um operador tal que , onde é o operador identidade.
Passo 4
Vamos usar a relação . Se é inversível, multiplicamos ambos os lados dessa igualdade pela inversa :
Simplificando, temos:
Ou seja,
Portanto,
Passo 5
Chegamos à conclusão de que se for inversível, então necessariamente . Mas o enunciado afirma que é diferente de . Isso significa que nossa suposição de que é inversível leva a uma contradição. Logo, se , então não pode ser inversível.