Seja T a transformação linear associada a matriz (rrr1 & 0 & 2 3 & 0 & -1 2 & 0 & 0).
T é sobrejetora? E injetora?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear 1 & 0 & 2 3 & 0 & -1 2 & 0 & 0 associada a uma matriz específica:
A pergunta é: é sobrejetora? E injetora?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora (ou “surjetora”) e injetora. Basicamente, vamos verificar se a transformação cobre todo o espaço de chegada (sobrejetora) e se cada elemento do espaço de chegada é atingido por no máximo um elemento do espaço de partida (injetora). Para isso, vamos usar conceitos de “rank” da matriz e “determinante”.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o rank da matriz. O rank é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Se o rank for igual ao número de colunas, a transformação é injetora. Se o rank for igual ao número de linhas, a transformação é sobrejetora.
Nossa matriz é 3x3, ou seja, tem 3 linhas e 3 colunas. Vamos calcular o rank dela.

Passo 3

Para encontrar o rank, podemos calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que todas as colunas são linearmente independentes, e o rank é 3.
Vamos calcular o determinante da matriz:
det(A) = 1 cdot 0 & -1 0 & 0 - 0 cdot 3 & -1 2 & 0 + 2 cdot 3 & 0 2 & 0
Calculando os menores:
0 & -1 0 & 0 = (0)(0) - (-1)(0) = 0
3 & -1 2 & 0 = (3)(0) - (-1)(2) = 2
3 & 0 2 & 0 = (3)(0) - (0)(2) = 0
Então:
det(A) = 1 cdot 0 - 0 cdot 2 + 2 cdot 0 = 0

Passo 4

O determinante da matriz deu zero, o que significa que o rank da matriz é menor que 3. Isso nos diz que as colunas da matriz não são todas linearmente independentes. Portanto, o rank é 2.

Passo 5

Agora que sabemos que o rank é 2:
  • Injetora: Para ser injetora, o rank precisa ser igual ao número de colunas, que é 3. Como o rank é 2, não é injetora.
  • Sobrejetora: Para ser sobrejetora, o rank precisa ser igual ao número de linhas, que também é 3. Como o rank é 2, não é sobrejetora.

Resposta

A transformação linear não é nem sobrejetora nem injetora.

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