Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de para . Ou seja, ela pega polinômios de grau no máximo 2 e os transforma em polinômios de grau no máximo 3. A transformação é definida por:
Queremos descobrir se é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como verificar isso para .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação injetora. Uma transformação linear é injetora se, sempre que , então . Em termos mais simples, diferentes vetores no espaço de partida não colidem no espaço de chegada.
Para verificar se é injetora, podemos usar o fato de que uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero. Ou seja, precisamos verificar se a única solução para é .
Passo 3
Vamos determinar o núcleo de . Precisamos encontrar todos os polinômios em tais que:
Isso nos dá a equação diferencial:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Primeiro, reescrevemos a equação como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o fator integrante. A fórmula geral para uma equação da forma é:
No nosso caso, , então:
Passo 5
Agora, observamos que deve ser um polinômio de grau no máximo 2. No entanto, não é um polinômio; é uma função exponencial. A única maneira de ser um polinômio e satisfazer a equação é se , o que resulta em .
Passo 6
Concluímos que a única solução para é . Ou seja, o núcleo de contém apenas o vetor zero.