Seja T: P2(R) longrightarrow P3(R) dada por T(p(x))=p^prime(x)+x p(x).
T é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(p(x)) = p'(x) + x cdot p(x) que vai de para . Ou seja, ela pega polinômios de grau no máximo 2 e os transforma em polinômios de grau no máximo 3. A transformação é definida por:
Queremos descobrir se é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como verificar isso para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação injetora. Uma transformação linear é injetora se, sempre que , então . Em termos mais simples, diferentes vetores no espaço de partida não colidem no espaço de chegada.
Para verificar se é injetora, podemos usar o fato de que uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero. Ou seja, precisamos verificar se a única solução para é .

Passo 3

Vamos determinar o núcleo de T(p(x)) = p'(x) + x cdot p(x) = 0 . Precisamos encontrar todos os polinômios p'(x) + x cdot p(x) = 0 em tais que:
Isso nos dá a equação diferencial:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar p'(x) = -x cdot p(x) . Primeiro, reescrevemos a equação como:
y(x) = C cdot e^-integral P(x) dx
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o fator integrante. A fórmula geral para uma equação da forma p(x) = C cdot e^-integral x dx = C cdot e^- x^22 é:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, observamos que deve ser um polinômio de grau no máximo 2. No entanto, não é um polinômio; é uma função exponencial. A única maneira de ser um polinômio e satisfazer a equação é se , o que resulta em .

Passo 6

Concluímos que a única solução para é . Ou seja, o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Resposta

Sim, a transformação é injetora.

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Seja T: P2(R) longrightarrow P3(R) dada por T(p(x))=p^prime(x)+x p(x).
Determine Ker(T);
Seja T: R^2 longrightarrow R dada por T(x, y)=3 x+2 y.
Mostre que T é transformação linear;
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(a) O polinômio característico de T;
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(b) Os autovalores e autovetores de T;