Seja
dada por
.
é injetora?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que vai de
para
. Ou seja, ela pega polinômios de grau no máximo 2 e os transforma em polinômios de grau no máximo 3. A transformação é definida por:
Queremos descobrir se
é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como verificar isso para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação injetora. Uma transformação linear
é injetora se, sempre que
, então
. Em termos mais simples, diferentes vetores no espaço de partida não colidem no espaço de chegada.
Para verificar se
é injetora, podemos usar o fato de que uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo (ou kernel) de
contém apenas o vetor zero. Ou seja, precisamos verificar se a única solução para
é
.
Passo 3
Vamos determinar o núcleo de
. Precisamos encontrar todos os polinômios
em
tais que:
Isso nos dá a equação diferencial:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Primeiro, reescrevemos a equação como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o fator integrante. A fórmula geral para uma equação da forma
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, observamos que
deve ser um polinômio de grau no máximo 2. No entanto,
não é um polinômio; é uma função exponencial. A única maneira de
ser um polinômio e satisfazer a equação é se
, o que resulta em
.
Passo 6
Concluímos que a única solução para
é
. Ou seja, o núcleo de
contém apenas o vetor zero.
Resposta
Sim, a transformação
é injetora.