Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(a) O polinômio característico de T;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada por uma matriz na base canônica. O que precisamos encontrar aqui é o polinômio característico de . Esse polinômio é importante porque nos ajuda a descobrir os autovalores da transformação, que são números especiais associados à matriz.

Passo 2

Para encontrar o polinômio característico, usamos a seguinte fórmula:
p(lambda) = det([T] - lambda I)
Aqui, [T] = 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 é a matriz da transformação, I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é uma variável escalar, e lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda é a matriz identidade do mesmo tamanho que [T] - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda . Vamos montar a matriz .
Dada a matriz :
A matriz identidade de ordem 3 é:
Então, é:
Subtraindo de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz:
det([T] - lambda I) = 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda
Para facilitar o cálculo, vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Observando que há zeros na matriz, podemos simplificar o cálculo expandindo pela segunda coluna.

Passo 4

Expandindo o determinante:
det([T] - lambda I) = (1 - lambda) cdot 3 - lambda & 0 1 & 1 - lambda - (-1) cdot 0 & 0 1 & 1 - lambda + 0 cdot 0 & 3 - lambda 1 & 1
Calculando os menores:
= (1 - lambda) cdot [(3 - lambda)(1 - lambda) - 0] + 1 cdot [0 - 0] + 0
= (1 - lambda)(3 - lambda)(1 - lambda)

Resposta

O polinômio característico de p(lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda) é:

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Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(b) Os autovalores e autovetores de T;
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
© O polinômio minimal de T