Seja a transformação linear cuja matriz na base canônica é
Determine:
(a) O polinômio característico de T;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear representada por uma matriz na base canônica. O que precisamos encontrar aqui é o polinômio característico de . Esse polinômio é importante porque nos ajuda a descobrir os autovalores da transformação, que são números especiais associados à matriz.
Passo 2
Para encontrar o polinômio característico, usamos a seguinte fórmula:
p(lambda) = det([T] - lambda I)
Aqui, [T] = 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 é a matriz da transformação, I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é uma variável escalar, e lambda I = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda é a matriz identidade do mesmo tamanho que [T] - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda . Vamos montar a matriz .
Dada a matriz :
A matriz identidade de ordem 3 é:
Então, é:
Subtraindo de :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz:
Para facilitar o cálculo, vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Observando que há zeros na matriz, podemos simplificar o cálculo expandindo pela segunda coluna.