Seja
a transformação linear cuja matriz na base canônica é
Determine:
(b) Os autovalores e autovetores de
T ;
(b) Os autovalores e autovetores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ] cuja matriz na base canônica é
Aqui, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
det([T] - lambda I) = 0 . Para isso, usamos a equação característica:
Onde
são os autovalores e
é a matriz identidade de ordem 3.
Passo 3
Vamos montar a matriz
[T] - lambda I = [ccc 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda ] :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá as soluções:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
[ccc 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 ] [c v1 v2 v3 ] = [c 0 0 0 ] :
Resolvemos
- v2 = 0 2 v2 = 0 v1 + v2 = 0 :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
[ccc -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 1 & -2 ] [c v1 v2 v3 ] = [c 0 0 0 ] . Da terceira,
-2 v1 - v2 = 0 0 = 0 v1 + v2 - 2 v3 = 0 .
v = [c -2 v3 4 v3 v3 ] = v3 [c -2 4 1 ] é livre.
Então, os autovetores para
v = [c -2 4 1 ] são da forma:
Podemos escolher
, então um autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
.
Substituindo na terceira equação:
Então,
.
Portanto, os autovetores para
são da forma:
Podemos escolher
, então um autovetor é:
Resposta
Os autovalores de
v = [c 0 0 1 ] são
v = [c -2 4 1 ] (com multiplicidade 2) e
.
Os autovetores correspondentes são:
- Para
:
- Para
:
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(a) O polinômio característico deT ;
(a) O polinômio característico de
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