Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(b) Os autovalores e autovetores de T;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear [T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ] cuja matriz na base canônica é
Aqui, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det([T] - lambda I) = 0 . Para isso, usamos a equação característica:
Onde são os autovalores e é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 3

Vamos montar a matriz [T] - lambda I = [ccc 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda ] :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det([T] - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 1] - (-1)[0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot 1] + 0 cdot [0 cdot 1 - (3 - lambda) cdot 1]
Simplificando:
det([T] - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda)(1 - lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda)

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0
Isso nos dá as soluções:
lambda = 1 (com mu
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para [ccc 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 ] [c v1 v2 v3 ] = [c 0 0 0 ] :
Resolvemos - v2 = 0 2 v2 = 0 v1 + v2 = 0 :
v = [c 0 0 v3 ] = v3 [c 0 0 1 ]
Isso nos dá o sistema:
v = [c 0 0 1 ]
Da primeira equação, [ccc -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 1 & -2 ] [c v1 v2 v3 ] = [c 0 0 0 ] . Da terceira, -2 v1 - v2 = 0 0 = 0 v1 + v2 - 2 v3 = 0 . v = [c -2 v3 4 v3 v3 ] = v3 [c -2 4 1 ] é livre.
Então, os autovetores para v = [c -2 4 1 ] são da forma:
Podemos escolher , então um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação:
.
Então, .
Portanto, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher , então um autovetor é:

Resposta

Os autovalores de v = [c 0 0 1 ] são v = [c -2 4 1 ] (com multiplicidade 2) e .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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