Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de NucT e de Im T. T(x, y, z)=(z-x+y, z, y-x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma aplicação linear definida por . A gente precisa encontrar bases para o núcleo de (chamado de ) e para a imagem de (chamado de ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, espaço vetorial e transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = (z - x + y, , z, , y - x) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores z - x + y = 0 z = 0 y - x = 0 em 0 - x + x = 0 Rightarrow 0 = 0 que são mapeados para o vetor zero pela transformação z = 0 y = x . Isso significa que precisamos resolver o sistema:
(x, y, z) = (x, x, 0) = x cdot (1, 1, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
A segunda equação já nos diz que .
Da terceira equação, , ou seja, .
Substituindo e na primeira equação:
Essa última equação é sempre verdadeira, então não nos dá nenhuma informação nova. Portanto, as soluções são dadas por:
Podemos expressar os vetores do núcleo como:
Isso significa que o núcleo de é gerado pelo vetor .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem de T = -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando v1 = -1 0 -1 , v2 = 1 0 1 , v3 = 1 1 0 a algum vetor de v2 = -v1 . Para facilitar, podemos escrever a transformação 1 1 0 = k -1 0 -1 em forma de matriz:
1 = -k 1 = 0 0 = -k
Para encontrar uma base para a imagem, vamos verificar as colunas da matriz e identificar quais são linearmente independentes.
As colunas são:
Vamos ver se alguma coluna é combinação linear das outras. Observamos que:
Isso significa que é dependente de , então podemos descartá-la. Agora, precisamos verificar se e são independentes.
Para isso, vamos ver se existe algum escalar tal que :
Isso resulta em:
Não existe nenhum que satisfaça todas essas equações simultaneamente. Portanto, e são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para é e uma base para é .

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