Verifique se: O conjunto de todas as funções f reais tais que f(0)=1 é subespaço do conjunto de todas as funções reaiss;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de todas as funções reais que satisfazem é um subespaço do conjunto de todas as funções reais. A gente está trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar checar se esse conjunto satisfaz três propriedades fundamentais de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é um conjunto dentro de um espaço vetorial que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
  1. Contém o vetor zero: A função zero, que atribui zero para todo , deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se e são funções no conjunto, então também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos começar verificando se o vetor zero está no nosso conjunto. A função zero é aquela que, para todo , temos .
Mas, pelo enunciado, nosso conjunto só inclui funções que satisfazem . Vamos ver:
Para a função zero, . Isso não é igual a 1. Portanto, a função zero não está no nosso conjunto.

Passo 4

Como o conjunto não contém o vetor zero, ele já não é um subespaço. Não precisamos nem verificar as outras propriedades, porque todas as três precisam ser verdadeiras para ser um subespaço.

Resposta

O conjunto de todas as funções reais tais que não é um subespaço do conjunto de todas as funções reais, pois não contém a função zero.

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