Verifique se: O conjunto de todas as funções
reais tais que
é subespaço do conjunto de todas as funções reaiss;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de todas as funções reais
que satisfazem
é um subespaço do conjunto de todas as funções reais. A gente está trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar checar se esse conjunto satisfaz três propriedades fundamentais de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é um conjunto dentro de um espaço vetorial que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
- Contém o vetor zero: A função zero, que atribui zero para todo
, deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se
e são funções no conjunto, então também deve estar no conjunto. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos começar verificando se o vetor zero está no nosso conjunto. A função zero é aquela que, para todo
, temos
.
Mas, pelo enunciado, nosso conjunto só inclui funções que satisfazem
. Vamos ver:
Para a função zero,
. Isso não é igual a 1. Portanto, a função zero não está no nosso conjunto.
Passo 4
Como o conjunto não contém o vetor zero, ele já não é um subespaço. Não precisamos nem verificar as outras propriedades, porque todas as três precisam ser verdadeiras para ser um subespaço.
Resposta
O conjunto de todas as funções reais
tais que
não é um subespaço do conjunto de todas as funções reais, pois não contém a função zero.