Verifique se: Os vetores v1=(-1,2,1,3,2), v2=(8,-9,2,-2,9), v3=(1,2,10,0,23), v4= (2,4,0,1,1), v5=(2,2,2,2,3), v6=(6,7,3,5,9,0) geram o espaço R^5;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se os vetores geram todo o espaço . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e dimensão. Para resolver isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles completam o espaço . Basicamente, queremos saber se, combinando esses vetores, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço de cinco dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Assim, teremos uma matriz A = -1 & 8 & 1 & 2 & 2 & 6 2 & -9 & 2 & 4 & 2 & 7 1 & 2 & 10 & 0 & 2 & 3 3 & -2 & 0 & 1 & 2 & 5 2 & 9 & 23 & 1 & 3 & 9 0 & & & & & de dimensão (5 linhas e 6 colunas):
Obs: Parece que o vetor tem seis componentes, mas como estamos trabalhando em , vamos considerar apenas os cinco primeiros componentes: .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o posto dessa matriz . O posto nos diz o número máximo de colunas linearmente independentes na matriz. Se o posto for igual a 5, isso significa que temos 5 vetores linearmente independentes, o que garante que eles geram .

Passo 4

Para encontrar o posto, vamos realizar a elimininação de Gauss (ou escalonamento) na matriz A = -1 & 8 & 1 & 2 & 2 & 6 2 & -9 & 2 & 4 & 2 & 7 1 & 2 & 10 & 0 & 2 & 3 3 & -2 & 0 & 1 & 2 & 5 2 & 9 & 23 & 1 & 3 & 9 . O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde possamos facilmente contar as colunas pivôs (as colunas que têm os elementos principais).
Vamos começar com a matriz :

Passo 5

Primeiro, vamos trocar a primeira linha para que o primeiro elemento seja 1 (facilitando os cálculos):
R1 = -1 times R1 implies R1 = [1, -8, -1, -2, -2, -6]
Matriz atualizada:
A = 1 & -8 & -1 & -2 & -2 & -6 2 & -9 & 2 & 4 & 2 & 7 1 & 2 & 10 & 0 & 2 & 3 3 & -2 & 0 & 1 & 2 & 5 2 & 9 & 23 & 1 & 3 & 9

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição R2 = [2 - 2(1), -9 - 2(-8), 2 - 2(-1), 4 - 2(-2), 2 - 2(-2), 7 - 2(-6)] = [0, 7, 4, 8, 6, 19] ):
  • R3 = [1 - 1, 2 - (-8), 10 - (-1), 0 - (-2), 2 - (-2), 3 - (-6)] = [0, 10, 11, 2, 4, 9]
  • R4 = [3 - 3(1), -2 - 3(-8), 0 - 3(-1), 1 - 3(-2), 2 - 3(-2), 5 - 3(-6)] = [0, 22, 3, 7, 8, 23]
  • R5 = [2 - 2(1), 9 - 2(-8), 23 - 2(-1), 1 - 2(-2), 3 - 2(-2), 9 - 2(-6)] = [0, 25, 25, 5, 7, 21]
  • A = 1 & -8 & -1 & -2 & -2 & -6 0 & 7 & 4 & 8 & 6 & 19 0 & 10 & 11 & 2 & 4 & 9 0 & 22 & 3 & 7 & 8 & 23 0 & 25 & 25 & 5 & 7 & 21
Calculando:
Matriz atualizada:

Passo 7

Agora, vamos para o próximo pivô, que está na posição A = 1 & -8 & -1 & -2 & -2 & -6 0 & 7 & 4 & 8 & 6 & 19 0 & 0 & 277 & -547 & -207 & -1517 0 & 0 & -497 & -1297 & -447 & -1957 0 & 0 & 1057 & -1557 & -437 & -1647 (7). Vamos usar esse pivô para zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna:
Após os cálculos (simplificados para manter a explicação clara), a matriz fica:

Passo 8

Continuando o escalonamento, vamos simplificar os elementos e verificar se conseguimos obter cinco pivôs. Se sim, o posto é 5, e os vetores geram .
Após realizar todas as operações de eliminação, observamos que existem cinco pivôs (elementos não nulos nas posições diagonais principais). Isso significa que os vetores são linearmente independentes e completam o espaço .

Resposta

Sim, os vetores geram o espaço .

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