Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se os vetores geram todo o espaço . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e dimensão. Para resolver isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles completam o espaço . Basicamente, queremos saber se, combinando esses vetores, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço de cinco dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Assim, teremos uma matriz de dimensão (5 linhas e 6 colunas):
Obs: Parece que o vetor tem seis componentes, mas como estamos trabalhando em , vamos considerar apenas os cinco primeiros componentes: .
Passo 3
Agora, precisamos determinar o posto dessa matriz . O posto nos diz o número máximo de colunas linearmente independentes na matriz. Se o posto for igual a 5, isso significa que temos 5 vetores linearmente independentes, o que garante que eles geram .
Passo 4
Para encontrar o posto, vamos realizar a elimininação de Gauss (ou escalonamento) na matriz A = -1 & 8 & 1 & 2 & 2 & 6 2 & -9 & 2 & 4 & 2 & 7 1 & 2 & 10 & 0 & 2 & 3 3 & -2 & 0 & 1 & 2 & 5 2 & 9 & 23 & 1 & 3 & 9 . O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde possamos facilmente contar as colunas pivôs (as colunas que têm os elementos principais).
Vamos começar com a matriz :
Passo 5
Primeiro, vamos trocar a primeira linha para que o primeiro elemento seja 1 (facilitando os cálculos):
Agora, vamos para o próximo pivô, que está na posição A = 1 & -8 & -1 & -2 & -2 & -6 0 & 7 & 4 & 8 & 6 & 19 0 & 0 & 277 & -547 & -207 & -1517 0 & 0 & -497 & -1297 & -447 & -1957 0 & 0 & 1057 & -1557 & -437 & -1647 (7). Vamos usar esse pivô para zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna:
Após os cálculos (simplificados para manter a explicação clara), a matriz fica:
Passo 8
Continuando o escalonamento, vamos simplificar os elementos e verificar se conseguimos obter cinco pivôs. Se sim, o posto é 5, e os vetores geram .
Após realizar todas as operações de eliminação, observamos que existem cinco pivôs (elementos não nulos nas posições diagonais principais). Isso significa que os vetores são linearmente independentes e completam o espaço .