Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
b.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas matrizes quadradas e de ordem que são inversíveis. Sabemos que o determinante de é e que o determinante de é 5. A gente precisa encontrar o determinante da matriz , que é definida como . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes e algumas manipulações de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho porque não precisamos nos preocupar com a transposição quando calculamos o determinante.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Podemos fatorar da seguinte maneira:
Aqui, é a matriz identidade de ordem . Essa fatoração nos ajuda a separar as matrizes e facilitar o cálculo do determinante.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :
Usando a propriedade de que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, temos:
Sabemos que , então .

Passo 5

Vamos agora olhar para . Sabemos que . Como porque determinantes são invariantes pela ordem da multiplicação interna, isso também vale:

Passo 6

Então, juntando as partes:

Passo 7

Agora, vamos calcular , onde :
Como mencionamos no Passo 2, o determinante da transposta é o mesmo da matriz original:
Sabemos que multiplicar uma matriz por um escalar multiplica o determinante por :
Simplificando:

Resposta

O determinante de é igual a .

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
c.
Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
c)
Seja definida por , em que e . Ache .
Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.