Sejam A e C matrizes n times n inversíveis tais que det(In+C^-1 A)=1 / 3 e det(A)=5. Sabendo-se que B=3(A^-1+C^-1)^T, então o determinante de B é igual a:
b. 2 3^n5^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas matrizes quadradas e de ordem que são inversíveis. Sabemos que o determinante de é e que o determinante de é 5. A gente precisa encontrar o determinante da matriz , que é definida como . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes e algumas manipulações de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja:
det((A^-1 + C^-1)^T) = det(A^-1 + C^-1)
Isso simplifica nosso trabalho porque não precisamos nos preocupar com a transposição quando calculamos o determinante.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão A^-1 + C^-1 = A^-1(In + A C^-1) . Podemos fatorar da seguinte maneira:
Aqui, é a matriz identidade de ordem . Essa fatoração nos ajuda a separar as matrizes e facilitar o cálculo do determinante.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A^-1 + C^-1) = det(A^-1(In + A C^-1)) :
det(A^-1) cdot det(In + A C^-1)
Usando a propriedade de que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, temos:
Sabemos que , então .

Passo 5

Vamos agora olhar para det(In + A C^-1) = 13 . Sabemos que . Como porque determinantes são invariantes pela ordem da multiplicação interna, isso também vale:

Passo 6

Então, juntando as partes:
det(A^-1 + C^-1) = 15 times 13 = 115

Passo 7

Agora, vamos calcular det(B) = det(3(A^-1 + C^-1)^T) , onde det(B) = det(3(A^-1 + C^-1)) :
det(3(A^-1 + C^-1)) = 3^n cdot det(A^-1 + C^-1) = 3^n cdot 115
Como mencionamos no Passo 2, o determinante da transposta é o mesmo da matriz original:
det(B) = 3^n15 = 3^n3 times 5 = 3^n-15
Sabemos que multiplicar uma matriz por um escalar multiplica o determinante por :
Simplificando:

Resposta

O determinante de é igual a .

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