Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas matrizes quadradas
e
de ordem
que são inversíveis. Sabemos que o determinante de
é
e que o determinante de
é 5. A gente precisa encontrar o determinante da matriz
, que é definida como
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes e algumas manipulações de matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho porque não precisamos nos preocupar com a transposição quando calculamos o determinante.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Podemos fatorar
da seguinte maneira:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem
. Essa fatoração nos ajuda a separar as matrizes e facilitar o cálculo do determinante.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de
:
Usando a propriedade de que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, temos:
Sabemos que
, então
.
Passo 5
Vamos agora olhar para
. Sabemos que
. Como
porque determinantes são invariantes pela ordem da multiplicação interna, isso também vale:
Passo 6
Então, juntando as partes:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, onde
:
Como mencionamos no Passo 2, o determinante da transposta é o mesmo da matriz original:
Sabemos que multiplicar uma matriz por um escalar
multiplica o determinante por
:
Simplificando:
Resposta
O determinante de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
c.
c.
Seja
o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de
.
c)
c)
Seja
definida por
,
em que
e
. Ache
.
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.