Seja
um vetor não nulo fixo em
. Uma translação é uma função
dada por
para todo
. Mostre que uma translação não é uma transformação linear e ilustre o efeito de uma translação geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma translação em
, que é uma função que move qualquer vetor
adicionando um vetor fixo
. Queremos mostrar que essa translação não é uma transformação linear e também desenhar como ela afeta geometricamente os vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e como a translação funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se duas condições forem satisfeitas para todos os vetores
e todo escalar
:
- Preservação da adição:
- Preservação da multiplicação por escalar:
Se a translação
não cumprir pelo menos uma dessas condições, então
não é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar a preservação da adição para a translação
. Seja
e
dois vetores em
:
Agora, calculemos
:
Comparando os dois resultados:
Claramente,
a menos que
, o que não é o caso já que
é um vetor não nulo. Então, a translação não preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
um vetor em
:
Por outro lado:
Novamente, comparando:
A menos que
ou
, esses dois não são iguais. Portanto, a translação também não preserva a multiplicação por escalar.
Passo 5
Já que a translação
não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar, concluímos que
não é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos imaginar o que a translação faz geometricamente. Pense em
como uma “flecha” fixa no plano. A translação
pega qualquer vetor
e simplesmente adiciona
a ele, ou seja, move
na direção e sentido de
. Geometricamente, isso significa que todos os vetores são deslocados pelo mesmo vetor
, mantendo suas direções e magnitudes intactas, mas trocando de posição no plano.
Resposta
Então, mostramos que a translação
não é uma transformação linear porque não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar. Geometricamente, uma translação simplesmente desloca todos os vetores no plano pela mesma quantidade e direção do vetor fixo
.