Seja v0 um vetor não nulo fixo em R^2. Uma translação é uma função T: R^2 R^2 dada por T(v)=v+v0 para todo v in R^2. Mostre que uma translação não é uma transformação linear e ilustre o efeito de uma translação geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma translação em , que é uma função que move qualquer vetor adicionando um vetor fixo . Queremos mostrar que essa translação não é uma transformação linear e também desenhar como ela afeta geometricamente os vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e como a translação funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se duas condições forem satisfeitas para todos os vetores e todo escalar :
  1. Preservação da adição:
  2. Preservação da multiplicação por escalar:
Se a translação não cumprir pelo menos uma dessas condições, então não é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar a preservação da adição para a translação T(u + v) = (u + v) + v0 . Seja T(u) + T(v) = (u + v0) + (v + v0) = u + v + 2v0 e T(u + v) = u + v + v0 e T(u) + T(v) = u + v + 2v0 dois vetores em :
Agora, calculemos :
Comparando os dois resultados:
Claramente, a menos que , o que não é o caso já que é um vetor não nulo. Então, a translação não preserva a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a preservação da multiplicação por escalar. Seja T(kv) = (kv) + v0 um escalar e kT(v) = k(v + v0) = kv + kv0 um vetor em T(kv) = kv + v0 e kT(v) = kv + kv0 :
Por outro lado:
Novamente, comparando:
A menos que ou , esses dois não são iguais. Portanto, a translação também não preserva a multiplicação por escalar.

Passo 5

Já que a translação não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar, concluímos que não é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos imaginar o que a translação faz geometricamente. Pense em como uma “flecha” fixa no plano. A translação pega qualquer vetor e simplesmente adiciona a ele, ou seja, move na direção e sentido de . Geometricamente, isso significa que todos os vetores são deslocados pelo mesmo vetor , mantendo suas direções e magnitudes intactas, mas trocando de posição no plano.

Resposta

Então, mostramos que a translação não é uma transformação linear porque não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalar. Geometricamente, uma translação simplesmente desloca todos os vetores no plano pela mesma quantidade e direção do vetor fixo .

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