Verifique se a função
é linear. Em caso afirmativo determine sua matriz.
Passo 1
Então, galera, o exercício pede para a gente verificar se a função
é linear. Se for, também precisamos encontrar a matriz que representa essa função. Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso. Precisamos lembrar que uma função é linear se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
-
(preserva a adição) -
(preserva a multiplicação por escalar)
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.
Passo 3
Vamos testar a primeira propriedade, a preservação da adição. Seja
e
. Então:
Agora, calculando
:
Observamos que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Assim,
.
Passo 5
Como a função
satisfaz ambas as propriedades de linearidade, podemos concluir que ela é uma transformação linear. Agora, vamos determinar a matriz que representa essa função.
Passo 6
Para encontrar a matriz de
, vamos ver o que acontece com os vetores da base canônica
e
:
A matriz de
será formada por esses resultados como colunas:
Resposta
A função
é linear e sua matriz associada é: