Verifique se a função T(x, y)=(3 x+y, 0) é linear. Em caso afirmativo determine sua matriz.

Passo 1

Então, galera, o exercício pede para a gente verificar se a função é linear. Se for, também precisamos encontrar a matriz que representa essa função. Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso. Precisamos lembrar que uma função é linear se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar :
  1. (preserva a adição)
  2. (preserva a multiplicação por escalar)
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade, a preservação da adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (3(x1 + x2) + (y1 + y2), 0) = (3x1 + 3x2 + y1 + y2, 0) e T(u) + T(v) = (3x1 + y1, 0) + (3x2 + y2, 0) = (3x1 + y1 + 3x2 + y2, 0) . Então:
Agora, calculando :
Observamos que .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a preservação da multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (3(cx) + cy, 0) = (c(3x + y), 0) = c(3x + y, 0) = cT(u) um escalar e . Então:
Assim, .

Passo 5

Como a função satisfaz ambas as propriedades de linearidade, podemos concluir que ela é uma transformação linear. Agora, vamos determinar a matriz que representa essa função.

Passo 6

Para encontrar a matriz de T(e1) = T(1, 0) = (3 cdot 1 + 0, 0) = (3, 0) , vamos ver o que acontece com os vetores da base canônica T(e2) = T(0, 1) = (3 cdot 0 + 1, 0) = (1, 0) e A = 3 & 1 0 & 0 :
A matriz de será formada por esses resultados como colunas:

Resposta

A função 3 & 1 0 & 0 é linear e sua matriz associada é:

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