Seja definida por .
(a) Mostre que é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Isso envolve entender sobre transformações lineares e o que é um isomorfismo. Para resolver, vamos precisar verificar se é linear e se ela é injetora e sobretora (ou seja, bijetora).
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se respeita duas propriedades:
Adição de vetores:
Multiplicação por escalar:
Vamos ver:
Seja e ,
e
Vemos que .
Para a multiplicação por escalar, seja um número real:
Portanto, é linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero. Ou seja, se implica que e .
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda: ⇒ .
Então, .
Como a única solução é e , é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação de para é sobrejetora se todo vetor em é imagem de algum vetor em através de .
No entanto, temos uma transformação de um espaço de dimensão 2 para um de dimensão 3. A imagem de será uma subvariedade de com dimensão no máximo 2, o que significa que não podemos alcançar todos os vetores em .
Portanto, não é sobrejetora.
Resposta
Como é linear e injetora, mas não é sobrejetora, ela não é um isomorfismo.