Seja T: R^2 longrightarrow R^3 definida por T(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y).
(a) Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Isso envolve entender sobre transformações lineares e o que é um isomorfismo. Para resolver, vamos precisar verificar se é linear e se ela é injetora e sobretora (ou seja, bijetora).

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - 2(y1 + y2), 3(x1 + x2) + (y1 + y2)) é uma transformação linear. Uma transformação é linear se respeita duas propriedades:
  1. Adição de vetores: T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1 - 2y1, 3x1 + y1) + (x2 + y2, x2 - 2y2, 3x2 + y2)
  2. Multiplicação por escalar: = (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 - 2y1 - 2y2, 3x1 + 3x2 + y1 + y2)
Vamos ver:
  • Seja T(cu) = T(cx1, cy1) = (cx1 + cy1, cx1 - 2cy1, 3cx1 + cy1) = c(x1 + y1, x1 - 2y1, 3x1 + y1) = cT(u) e ,
    e
    Vemos que .
  • Para a multiplicação por escalar, seja um número real:
Portanto, é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se x + y = 0 x - 2y = 0 3x + y = 0 é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero. Ou seja, se implica que e .
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda: .
Então, .
Como a única solução é e , é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação de para é sobrejetora se todo vetor em é imagem de algum vetor em através de .
No entanto, temos uma transformação de um espaço de dimensão 2 para um de dimensão 3. A imagem de será uma subvariedade de com dimensão no máximo 2, o que significa que não podemos alcançar todos os vetores em .
Portanto, não é sobrejetora.

Resposta

Como é linear e injetora, mas não é sobrejetora, ela não é um isomorfismo.

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