Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y+z, 3 x+y-2 z)
Considere as bases ordenadas alpha=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) de R^3 e beta=(1,2),(0,1) de R^2. Determine:
(a) [T]beta^alpha.
(b) [T(3,4,2)]beta.
© dim(Im(T)) e dim(Ker(T)).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Além disso, temos as bases ordenadas para e para . Vamos precisar entender como representar na forma matricial com relação a essas bases.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz de em relação às bases e , ou seja, . Para isso, aplicamos a cada vetor da base e expressamos o resultado na base .

Passo 3

Vamos aplicar T(1,1,1) = (1 - 1 + 1, 3(1) + 1 - 2(1)) = (1, 2) ao primeiro vetor de :
Agora, precisamos expressar na base . Como , podemos notar que é exatamente o primeiro vetor de , ou seja, as coordenadas são .

Passo 4

Aplicamos T(0,1,1) = (0 - 1 + 1, 3(0) + 1 - 2(1)) = (0, -1) ao segundo vetor de a(1,2) + b(0,1) = (0,-1) :
a = 0 2a + b = -1 Rightarrow b = -1
Agora, expressamos na base . Precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá:
Portanto, as coordenadas são .

Passo 5

Agora, aplicamos T(0,0,1) = (0 - 0 + 1, 3(0) + 0 - 2(1)) = (1, -2) ao terceiro vetor de a(1,2) + b(0,1) = (1,-2) :
a = 1 2a + b = -2 Rightarrow 2(1) + b = -2 Rightarrow b = -4
Expressando na base , buscamos e tais que:
Isso resulta em:
Assim, as coordenadas são .

Passo 6

Agora que temos as coordenadas de [T]beta^alpha = 1 & 0 & 1 0 & -1 & -4 aplicadas a cada vetor de na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de aplicado a um vetor de .

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^alpha = 1 & 0 & 1 0 & -1 & -4 em relação às bases e é:

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