Seja
a transformação linear definida por
Considere as bases ordenadas
de
e
de
. Determine:
(a)
.
(b)
.
©
e
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Além disso, temos as bases ordenadas
para
e
para
. Vamos precisar entender como representar
na forma matricial com relação a essas bases.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de
em relação às bases
e
, ou seja,
. Para isso, aplicamos
a cada vetor da base
e expressamos o resultado na base
.
Passo 3
Vamos aplicar
ao primeiro vetor de
:
Agora, precisamos expressar
na base
. Como
, podemos notar que
é exatamente o primeiro vetor de
, ou seja, as coordenadas são
.
Passo 4
Aplicamos
ao segundo vetor de
:
Agora, expressamos
na base
. Precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá:
Portanto, as coordenadas são
.
Passo 5
Agora, aplicamos
ao terceiro vetor de
:
Expressando
na base
, buscamos
e
tais que:
Isso resulta em:
Assim, as coordenadas são
.
Passo 6
Agora que temos as coordenadas de
aplicadas a cada vetor de
na base
, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de
aplicado a um vetor de
.
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação às bases
e
é: