Seja a transformação linear definida por
Considere as bases ordenadas de e de . Determine:
(a) .
(b) .
© e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Além disso, temos as bases ordenadas para e para . Vamos precisar entender como representar na forma matricial com relação a essas bases.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz de em relação às bases e , ou seja, . Para isso, aplicamos a cada vetor da base e expressamos o resultado na base .

Passo 3

Vamos aplicar ao primeiro vetor de :
Agora, precisamos expressar na base . Como , podemos notar que é exatamente o primeiro vetor de , ou seja, as coordenadas são .

Passo 4

Aplicamos ao segundo vetor de :
Agora, expressamos na base . Precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá:
Portanto, as coordenadas são .

Passo 5

Agora, aplicamos ao terceiro vetor de :
Expressando na base , buscamos e tais que:
Isso resulta em:
Assim, as coordenadas são .

Passo 6

Agora que temos as coordenadas de aplicadas a cada vetor de na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de aplicado a um vetor de .

Resposta

A matriz da transformação linear em relação às bases e é:

Exercícios relacionados

Sejam e transformações lineares, dadas por
Determine onde é a base canônica de .
Seja a transformação linear tal que
onde e são as bases canônicas de e , respectivamente. Determine .
Seja a transformação linear definida por
Sejam a base canônica de e uma base ordenada de . Determine:
(a) .
(b) .
© Uma matriz tal que .