Se T(x, y)=(2 x, x-y, y) e S(x, y, z)=(y-z, z-x), encontre as compostas (T circ S)(x, y, z) e (S circ T)(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
  • que pega dois números e devolve três.
  • que pega três números e devolve dois.
A gente precisa encontrar as composições dessas funções, ou seja, e . Basicamente, isso significa aplicar uma função e depois a outra. Vamos precisar entender como compor funções e aplicar elas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Quando a gente tem duas funções, e , a composição significa que a gente aplica a função primeiro e depois aplica a função no resultado. Ou seja, .

Passo 3

Vamos encontrar S(x, y, z) = (y - z, z - x) . Isso significa que a gente vai aplicar a função T(u, v) = (2u, u - v, v) primeiro e depois a função T(y - z, z - x) = (2(y - z), (y - z) - (z - x), z - x) no resultado.
  1. Aplicando = (2y - 2z, y - z - z + x, z - x) = (2y - 2z, y + x - 2z, z - x) em :
    Então, o resultado da função é um par .
  2. Agora, aplicando nesse resultado:
    Aqui, e . Substituindo:
    Simplificando:

Passo 4

Agora vamos encontrar T(x, y) = (2x, x - y, y) . Aqui, a gente aplica a função S(u, v, w) = (v - w, w - u) primeiro e depois a função S(2x, x - y, y) = ((x - y) - y, y - 2x) = (x - 2y, y - 2x) no resultado.
  1. Aplicando em :
    O resultado é um triplo .
  2. Agora, aplicando nesse resultado:
    Aqui, , , e . Substituindo:

Resposta

As composições das funções são:
(T circ S)(x, y, z) = (2y - 2z, , x + y - 2z, , z - x)
e
(S circ T)(x, y) = (x - 2y, , y - 2x)

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