Seja
e
;
e $\left.\alpha \in \mathbb{R}\right$. Dados
e
definamos:
a) Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
b) Mostre que
.
b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto
de funções que vão de
para
e que satisfazem duas propriedades:
-
-
para todoe .
Além disso, definimos duas operações:
Vamos resolver duas partes:
a) Mostrar que é um espaço vetorial sobre
.
b) Mostrar que a dimensão de é
.
a) Mostrar que
b) Mostrar que a dimensão de
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e dimensão, e verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Vamos começar com a Parte a): Mostrar que
é um espaço vetorial sobre
.
Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto que, junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar), satisfaz certos axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc.
Nosso objetivo é verificar se
satisfaz todos esses axiomas com as operações definidas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento pela adição.
Queremos ver se, para
, a função
também está em
.
Considerando
, vamos verificar:
Portanto,
. A adição está fechada.
Passo 4
Axioma 2: Fechamento pela multiplicação por escalar.
Queremos ver se, para
e
, a função
também está em
.
Considerando
, vamos verificar:
Assim,
. A multiplicação por escalar está fechada.
Passo 5
Axioma 3: Existência do elemento neutro da adição.
Precisamos de uma função
tal que
para todo
.
Definimos
para todo
.
Verificando:
.
Logo, o elemento neutro existe.
Passo 6
Axioma 4: Existência de inversos aditivos.
Para cada
, deve existir
tal que
.
Definimos
.
Verificando:
.
Portanto, os inversos aditivos existem.
Passo 7
Axioma 5: Associatividade da adição.
Para
, queremos que
.
Calculando ambos:
São iguais, então associatividade válida.
Passo 8
Axioma 6: Comutatividade da adição.
Para
, queremos que
.
Vemos que:
.
Logo, comutatividade válida.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
Para
e
, queremos que
.
Calculando ambos:
.
Portanto, distributividade válida.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Para
e
, queremos que
.
Calculando ambos:
.
Então, distributividade válida.
Passo 11
Axioma 9: Associatividade da multiplicação por escalar.
Para
e
, queremos que
.
Calculando ambos:
.
Assim, associatividade da multiplicação por escalar válida.
Passo 12
Axioma 10: Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar.
Existe um escalar
tal que
para todo
.
Verificando:
.
Então, o elemento neutro da multiplicação por escalar existe.
Passo 13
Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram verificados e satisfazidos por
com as operações
e
definidas, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Passo 14
Agora, vamos para a Parte b): Mostrar que a dimensão de
é
.
Primeiro, o que significa a dimensão de um espaço vetorial? É o número de vetores em uma base que é linearmente independente e que gera todo o espaço.
Neste caso, queremos encontrar uma base para
com exatamente
funções.
Passo 15
Vamos construir uma base para
. Considere as funções
definidas por:
onde
e
.
Essas funções basicamente “selecionam” a
-ésima coordenada de
.
Passo 16
Verificando se as funções
são linearmente independentes:
Suponha que exista uma combinação linear:
Isso significa que para todo
:
Escolhendo
de forma que apenas um
e os demais sejam 0, vemos que
para todo
. Portanto, as funções são linearmente independentes.
Passo 17
Verificando se as funções
geram
:
Toda função
satisfaz:
Pela propriedade de linearidade:
Isso mostra que qualquer
pode ser escrita como uma combinação linear das funções
.
Passo 18
Como temos
funções lineares independentes que geram
, concluímos que a dimensão de
é
.
Resposta
a)
é um espaço vetorial sobre
.
b) A dimensão de
é
.
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear definido na base canônica por
e
. Determine
.
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
c) se
c)
Seja
e
um subsespaço de
. Determine a dimensão de
.