Seja V=f: R^n longrightarrow R ; f(x+y)=f(x)+f(y) e f(alpha x)=alpha f(x); forall x, y in R^n e $\left.\alpha \in \mathbb{R}\right$. Dados alpha in R e f, g in V definamos:
alpha in R
a) Mostre que (f oplus g)(x)=f(x)+g(x) (alpha odot f)(x)=f(alpha x) é um espaço vetorial sobre V.
b) Mostre que R.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de funções que vão de para e que satisfazem duas propriedades:

  1. para todo e .
Além disso, definimos duas operações:
Vamos resolver duas partes:
a) Mostrar que é um espaço vetorial sobre .
b) Mostrar que a dimensão de é .
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e dimensão, e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Vamos começar com a Parte a): Mostrar que é um espaço vetorial sobre .
Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto que, junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar), satisfaz certos axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc.
Nosso objetivo é verificar se satisfaz todos esses axiomas com as operações definidas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento pela adição.
Queremos ver se, para , a função também está em .
Considerando , vamos verificar:
Portanto, . A adição está fechada.

Passo 4

Axioma 2: Fechamento pela multiplicação por escalar.
Queremos ver se, para e , a função também está em .
Considerando , vamos verificar:
Assim, . A multiplicação por escalar está fechada.

Passo 5

Axioma 3: Existência do elemento neutro da adição.
Precisamos de uma função tal que para todo .
Definimos para todo .
Verificando:
.
Logo, o elemento neutro existe.

Passo 6

Axioma 4: Existência de inversos aditivos.
Para cada , deve existir tal que .
Definimos .
Verificando:
.
Portanto, os inversos aditivos existem.

Passo 7

Axioma 5: Associatividade da adição.
Para , queremos que .
Calculando ambos:

São iguais, então associatividade válida.

Passo 8

Axioma 6: Comutatividade da adição.
Para , queremos que .
Vemos que:
.
Logo, comutatividade válida.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
Para e , queremos que .
Calculando ambos:
.
Portanto, distributividade válida.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Para e , queremos que .
Calculando ambos:
.
Então, distributividade válida.

Passo 11

Axioma 9: Associatividade da multiplicação por escalar.
Para e , queremos que .
Calculando ambos:
.
Assim, associatividade da multiplicação por escalar válida.

Passo 12

Axioma 10: Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar.
Existe um escalar tal que para todo .
Verificando:
.
Então, o elemento neutro da multiplicação por escalar existe.

Passo 13

Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram verificados e satisfazidos por com as operações e definidas, concluímos que é de fato um espaço vetorial sobre .

Passo 14

Agora, vamos para a Parte b): Mostrar que a dimensão de é .
Primeiro, o que significa a dimensão de um espaço vetorial? É o número de vetores em uma base que é linearmente independente e que gera todo o espaço.
Neste caso, queremos encontrar uma base para com exatamente funções.

Passo 15

Vamos construir uma base para ei(x) = xi . Considere as funções definidas por:
onde e .
Essas funções basicamente “selecionam” a -ésima coordenada de .

Passo 16

Verificando se as funções alpha1 e1 + alpha2 e2 + ldots + alphan en = 0 são linearmente independentes:
Suponha que exista uma combinação linear:
alpha1 x1 + alpha2 x2 + ldots + alphan xn = 0
Isso significa que para todo :
Escolhendo de forma que apenas um e os demais sejam 0, vemos que para todo . Portanto, as funções são linearmente independentes.

Passo 17

Verificando se as funções f(x) = f(x1 e1(x) + x2 e2(x) + ldots + xn en(x)) geram f(x) = x1 f(e1) + x2 f(e2) + ldots + xn f(en) :
Toda função satisfaz:
Pela propriedade de linearidade:
Isso mostra que qualquer pode ser escrita como uma combinação linear das funções .

Passo 18

Como temos funções lineares independentes que geram , concluímos que a dimensão de é .

Resposta

a) é um espaço vetorial sobre .
b) A dimensão de é .

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