Sejam A=(1,1,0), B=(0,2,-1) e C=(0, x, 1) pontos em \mathbb{R}^{3}. Sabendo que
determine:
(a) O valor de x;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: , e . A condição é que a projeção do vetor sobre o vetor seja igual ao vetor . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa condição.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores AB = B - A = (0 - 1, 2 - 1, -1 - 0) = (-1, 1, -1) , BA = A - B = (1 - 0, 1 - 2, 0 - (-1)) = (1, -1, 1) e AC = C - A = (0 - 1, x - 1, 1 - 0) = (-1, x - 1, 1) .
O vetor é dado por:
O vetor é o vetor contrário de :
O vetor é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A projeção do vetor projv u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre o vetor é dada por:
onde representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para a projeção de projAB AC = ( AC cdot ABAB cdot AB ) AB sobre AC cdot AB = (-1)(-1) + (x - 1)(1) + (1)(-1) = 1 + (x - 1) - 1 = x - 1 :
AB cdot AB = (-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Em seguida, calculamos :
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da projeção:
projAB AC = ( x - 13 ) AB = ( x - 13 ) (-1, 1, -1) = ( -(x - 1)3, x - 13, -(x - 1)3 )
Passo 6
De acordo com a condição da questão, essa projeção deve ser igual ao vetor ( -(x - 1)3, x - 13, -(x - 1)3 ) = (1, -1, 1) , ou seja:
-(x - 1)3 = 1 x - 13 = -1 -(x - 1)3 = 1
Isso nos dá um sistema de equações:
Observamos que todas as três equações são equivalentes, então podemos resolver qualquer uma delas para encontrar .