Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(e1)=(2,3,1), T(e1+e2)=(5,2,7) e T(e1+e2+e3)=(-2,0,7)
T é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por algumas imagens de vetores da base canônica. A pergunta é: esse operador é bijetora? Ou seja, ele consegue “chegar” em todo ponto de de forma única. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona e verificar se ele é invertível, o que nos dirá se é bijetora.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir como T(e1) = (2,3,1) age em cada um dos vetores da base canônica T(e1 + e2) = (5,2,7) . Já sabemos que:
T(e1 + e2) = T(e1) + T(e2) = (2,3,1) + T(e2) = (5,2,7)
Também sabemos que:
(2,3,1) + T(e2) = (5,2,7) T(e2) = (5,2,7) - (2,3,1) = (3,-1,6)
Como T(e3) = ? é linear, podemos escrever:
T(e1 + e2 + e3) = T(e1) + T(e2) + T(e3) = (2,3,1) + (3,-1,6) + T(e3) = (-2,0,7)
Agora, vamos resolver para (2+3, 3+(-1), 1+6) + T(e3) = (-2,0,7) (5,2,7) + T(e3) = (-2,0,7) T(e3) = (-2,0,7) - (5,2,7) = (-7,-2,0) :
Agora, sabemos que:
Usando que:
Vamos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz de A = T(e1) & T(e2) & T(e3) = 2 & 3 & -7 3 & -1 & -2 1 & 6 & 0 usando as imagens dos vetores da base:

Passo 4

Para verificar se det(A) = 2 cdot -1 & -2 6 & 0 - 3 cdot 3 & -2 1 & 0 + (-7) cdot 3 & -1 1 & 6 é bijetora, precisamos saber se a matriz -1 & -2 6 & 0 = (-1)(0) - (-2)(6) = 0 + 12 = 12 3 & -2 1 & 0 = (3)(0) - (-2)(1) = 0 + 2 = 2 3 & -1 1 & 6 = (3)(6) - (-1)(1) = 18 + 1 = 19 é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = 2 cdot 12 - 3 cdot 2 + (-7) cdot 19 = 24 - 6 - 133 = -115 :
Calculando cada menor:
Agora, substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível.

Passo 5

Como a matriz de é invertível, isso significa que é uma transformação linear bijetora. Ou seja, ela é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).

Resposta

Sim, o operador é bijetora.

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