Seja um operador linear tal que
T é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por algumas imagens de vetores da base canônica. A pergunta é: esse operador é bijetora? Ou seja, ele consegue “chegar” em todo ponto de de forma única. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona e verificar se ele é invertível, o que nos dirá se é bijetora.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir como age em cada um dos vetores da base canônica . Já sabemos que:
Também sabemos que:
Como é linear, podemos escrever:
Agora, vamos resolver para :
Agora, sabemos que:
Usando que:
Vamos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz de usando as imagens dos vetores da base:

Passo 4

Para verificar se é bijetora, precisamos saber se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada menor:
Agora, substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível.

Passo 5

Como a matriz de é invertível, isso significa que é uma transformação linear bijetora. Ou seja, ela é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).

Resposta

Sim, o operador é bijetora.

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear definida por . Calcule a matriz representativa de F em relação à base padrão.
Sejam e transformações lineares definidas por:
Determine: a) F+G
Encontre para que a matriz não tenha inversa.
Calcule os seguintes determinantes: