Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a dimensão do núcleo da transformação linear definida por . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente às transformações lineares e seus núcleos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação e como encontrar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso significa:
Passo 3
Então, vamos achar todos os vetores que satisfazem . Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema, temos:
implica
A terceira equação é sempre verdadeira e não impõe restrições adicionais.
Portanto, qualquer vetor no núcleo deve ter e , mas pode ser qualquer número real.
Passo 5
Assim, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Ou seja:
Isso significa que o núcleo é uma linha ao longo do eixo no espaço tridimensional.
Passo 6
Agora, para encontrar a dimensão do núcleo, observamos quantas “direções independentes” existem nesse conjunto. Como pode variar livremente e só há uma variável livre (), a dimensão do núcleo é 1.