Seja T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x, 2 y, 0). Determine dim(ker(T))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a dimensão do núcleo da transformação linear definida por . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente às transformações lineares e seus núcleos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação e como encontrar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear ker(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso significa:

Passo 3

Então, vamos achar todos os vetores x = 0 2y = 0 0 = 0 que satisfazem . Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema, temos:
  1. implica
  2. A terceira equação é sempre verdadeira e não impõe restrições adicionais.
Portanto, qualquer vetor no núcleo deve ter e , mas pode ser qualquer número real.

Passo 5

Assim, o núcleo de ker(T) = (0, 0, z) mid z in R é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Ou seja:
Isso significa que o núcleo é uma linha ao longo do eixo no espaço tridimensional.

Passo 6

Agora, para encontrar a dimensão do núcleo, observamos quantas “direções independentes” existem nesse conjunto. Como pode variar livremente e só há uma variável livre ( ), a dimensão do núcleo é 1.

Resposta

A dimensão do núcleo de é .

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