Seja tal que . Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a dimensão do núcleo da transformação linear definida por . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente às transformações lineares e seus núcleos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação e como encontrar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso significa:

Passo 3

Então, vamos achar todos os vetores que satisfazem . Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema, temos:
  1. implica
  2. A terceira equação é sempre verdadeira e não impõe restrições adicionais.
Portanto, qualquer vetor no núcleo deve ter e , mas pode ser qualquer número real.

Passo 5

Assim, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Ou seja:
Isso significa que o núcleo é uma linha ao longo do eixo no espaço tridimensional.

Passo 6

Agora, para encontrar a dimensão do núcleo, observamos quantas “direções independentes” existem nesse conjunto. Como pode variar livremente e só há uma variável livre ( ), a dimensão do núcleo é 1.

Resposta

A dimensão do núcleo de é .

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Seja tal que . Determine
Seja tal que . Seja uma base de e uma base de . Determine
*(Sel. Mestrado UFRGS 2006/2) Se é uma matriz com elementos , definimos o seu traço por meio da expressão .
(b) Se é a matriz identidade , então mostre que não existem matrizes e tais que .
(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se e possuem inversas, então o mesmo acontece e .