Seja
a transformação linear dada por
.
Obtenha
, considerando as bases ordenadas
de
e
de
.
Obtenha
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está pedindo aqui! Temos uma transformação linear
definida por
. A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
- Base de
: - Base de
:
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em diferentes bases. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma transformação linear
representa como
age sobre os vetores da base
e expressa os resultados na base
.
Ou seja, para cada vetor
em
, calculamos
e então representamos esse resultado em termos da base
.
Passo 3
Vamos começar calculando
para cada vetor da base
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar cada um desses vetores resultantes em termos da base
. Basicamente, vamos escrever cada vetor
como uma combinação linear desses dois vetores:
Isso nos dá o sistema:
Portanto,
e
. A coordenada na base
será
.
Vamos aplicar isso aos vetores que obtivemos:
-
se torna -
se torna -
se torna
Passo 5
Agora, organizamos esses vetores como colunas na matriz
. Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base
representada na base
:
Resposta
A matriz da transformação
em relação às bases
e
é: