Seja T: R^3 R^2 a transformação linear dada por T(x, y, z)=(x+y, 2 z-x).
Obtenha [T]alpha^prime^alpha, considerando as bases ordenadas alpha=(1,0,-1),(1,1,1),(1,0,0) de R^3 e alpha^prime=(0,1),(1,0) de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está pedindo aqui! Temos uma transformação linear definida por . A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
  • Base de :
  • Base de :
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em diferentes bases. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma transformação linear representa como age sobre os vetores da base e expressa os resultados na base .
Ou seja, para cada vetor em , calculamos e então representamos esse resultado em termos da base .

Passo 3

Vamos começar calculando para cada vetor da base :

Passo 4

Agora, precisamos expressar cada um desses vetores resultantes em termos da base a = c2 b = c1 . Basicamente, vamos escrever cada vetor c2 c1 como uma combinação linear desses dois vetores:
a b
Isso nos dá o sistema:
1 -3
Portanto, 2 1 e 1 -1 . A coordenada na base será .
Vamos aplicar isso aos vetores que obtivemos:
  1. se torna
  2. se torna
  3. se torna

Passo 5

Agora, organizamos esses vetores como colunas na matriz [T]alpha'^alpha = 1 & 2 & 1 -3 & 1 & -1 . Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base representada na base :

Resposta

A matriz da transformação [T]alpha'^alpha = 1 & 2 & 1 -3 & 1 & -1 em relação às bases e é:

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