Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
© O polinômio minimal de T

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio minimal da transformação linear [T] = 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 cuja matriz na base canônica é
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios característicos e minimal. Precisamos entender como esses polinômios se relacionam com a matriz da transformação para determinar o minimal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz pT(lambda) = det( 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda ) é dado por , onde é a matriz identidade. Esse polinômio ajuda a encontrar os autovalores da matriz.
Vamos calcular o polinômio característico de :

Passo 3

Agora, vamos calcular esse determinante. Podemos expandir pela segunda coluna já que há um zero:
pT(lambda) = -(1) cdot det( 0 & 0 1 & 1 - lambda ) + (0) + (0) = -1 cdot (0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot 1) = 0
Parece que houve um erro na expansão. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos reorganizar o cálculo do determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det( 3 - lambda & 0 1 & 1 - lambda ) - (-1) cdot det( 0 & 0 1 & 1 - lambda ) + 0
Calculando os determinantes menores:
= (1 - lambda) cdot [(3 - lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 1] + 1 cdot [0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot 1]
= (1 - lambda)(3 - lambda)(1 - lambda) + 0
= (1 - lambda)^2 (3 - lambda)

Passo 5

Então, o polinômio característico é:
pT(lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda)
Isso significa que os autovalores de são (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 1).

Passo 6

Agora, o polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula a matriz . Ele deve dividir o polinômio característico e ter as mesmas raízes, mas com multiplicidades possivelmente menores.
Para cada autovalor , a multiplicidade no polinômio minimal é a menor potência tal que anula .
Vamos verificar se já anula . Caso contrário, precisamos manter a multiplicidade.

Passo 7

Calculando [T] - I = 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 :
Verificamos se anula essa matriz. Claramente, não é a matriz nula, então precisamos elevar a potência do fator no polinômio minimal.

Passo 8

Portanto, o polinômio minimal de mT(lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda) deve ter a forma:
Porque a multiplicidade de não pode ser reduzida sem deixar de anular .

Resposta

O polinômio minimal de mT(lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda) é

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Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(b) Os autovalores e autovetores de T;
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(a) O polinômio característico de T;
Seja V=M2 times 2 o espaço das matrizes quadradas de ordem 2. Mostre que
lang<=(ll a & b c & d ),(ll e & f g & h )rang<==a e+2 b f+3 c g+d h
é um produto interno e calcule o ângulo entre
(cc1 & -1 0 & 1) e(cc2 & 1 -1 & 1)
Use aforma diagonal para encontrar A^n, onde A=(ccc0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2).
Sugestão Mostre que A=B D B^-1, onde D é uma matriz diagonal e B é a matriz da base dada pelos autovetores.