Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio minimal da transformação linear [T] = 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 cuja matriz na base canônica é
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios característicos e minimal. Precisamos entender como esses polinômios se relacionam com a matriz da transformação para determinar o minimal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz pT(lambda) = det( 1 - lambda & -1 & 0 0 & 3 - lambda & 0 1 & 1 & 1 - lambda ) é dado por , onde é a matriz identidade. Esse polinômio ajuda a encontrar os autovalores da matriz.
Vamos calcular o polinômio característico de :
Passo 3
Agora, vamos calcular esse determinante. Podemos expandir pela segunda coluna já que há um zero:
Isso significa que os autovalores de são (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 1).
Passo 6
Agora, o polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula a matriz . Ele deve dividir o polinômio característico e ter as mesmas raízes, mas com multiplicidades possivelmente menores.
Para cada autovalor , a multiplicidade no polinômio minimal é a menor potência tal que anula .
Vamos verificar se já anula . Caso contrário, precisamos manter a multiplicidade.