Seja V=M2 times 2 o espaço das matrizes quadradas de ordem 2. Mostre que
lang<=(ll a & b c & d ),(ll e & f g & h )rang<==a e+2 b f+3 c g+d h
é um produto interno e calcule o ângulo entre
(cc1 & -1 0 & 1) e(cc2 & 1 -1 & 1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com lang<=(ll a & b c & d ), (ll e & f g & h )rang<= = a e + 2 b f + 3 c g + d h , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2. O enunciado nos apresenta uma forma bilinear definida por
e solicita que mostremos que isso é um produto interno. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre duas matrizes específicas usando esse produto interno. Para resolver isso, vamos revisar o que é um produto interno e como ele nos ajuda a determinar o ângulo entre vetores (neste caso, matrizes).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo quatro propriedades:
  1. Simetria:
  2. Linearidade na primeira posição:
  3. Positividade:
  4. Definitude: se e somente se
Vamos verificar se a forma dada satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a simetria:
Dada a forma do produto interno:
lang<= A, B rang<= = a e + 2 b f + 3 c g + d h
onde a & b c & d e e & f g & h .
Para ver se é simétrico, comparamos lang<= B, A rang<= = e a + 2 f b + 3 g c + h d = a e + 2 b f + 3 c g + d h = lang<= A, B rang<= com a & b c & d :
a' & b' c' & d'
Portanto, a simetria está satisfeita.
Verificando a linearidade na primeira posição:
Sejam lang<= alpha A + beta C, B rang<= = alpha lang<= A, B rang<= + beta lang<= C, B rang<= e lang<= A, A rang<= = a^2 + 2 b^2 + 3 c^2 + d^2 , e escalares. Então:
Isso pode ser verificado diretamente substituindo as matrizes.
Verificando a positividade e definitude:
Como todos os coeficientes são positivos e ao quadrado, . Além disso, somente se , ou seja, se for a matriz zero.
Portanto, todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre as duas matrizes dadas:
A = 1 & -1 0 & 1 e B = 2 & 1 -1 & 1
A fórmula para o cosseno do ângulo cos(theta) = lang<= A, B rang<=|A| cdot |B| entre dois vetores (ou matrizes, neste caso) é:
onde é a norma de .
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Calculando lang<= A, B rang<= = (1)(2) + 2(-1)(1) + 3(0)(-1) + (1)(1) = 2 - 2 + 0 + 1 = 1 :
lang<= A, A rang<= = (1)^2 + 2(-1)^2 + 3(0)^2 + (1)^2 = 1 + 2 + 0 + 1 = 4 |A| = raiz4 = 2
Calculando lang<= B, B rang<= = (2)^2 + 2(1)^2 + 3(-1)^2 + (1)^2 = 4 + 2 + 3 + 1 = 10 |B| = raiz10 :
cos(theta) = 12 cdot raiz10 = 12raiz10 = raiz1020
Calculando theta = arccos( raiz1020 ) approx arccos(0,1581) approx 80,9^circ :
Calculando :
Calculando o ângulo :

Resposta

O ângulo entre as matrizes e é aproximadamente .

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