Seja o espaço das matrizes quadradas de ordem 2. Mostre que
é um produto interno e calcule o ângulo entre
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2. O enunciado nos apresenta uma forma bilinear definida por
e solicita que mostremos que isso é um produto interno. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre duas matrizes específicas usando esse produto interno. Para resolver isso, vamos revisar o que é um produto interno e como ele nos ajuda a determinar o ângulo entre vetores (neste caso, matrizes).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo quatro propriedades:
Simetria:
Linearidade na primeira posição:
Positividade:
Definitude: se e somente se
Vamos verificar se a forma dada satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Verificando a simetria:
Dada a forma do produto interno:
onde e .
Para ver se é simétrico, comparamos com :
Portanto, a simetria está satisfeita.
Verificando a linearidade na primeira posição:
Sejam e , e escalares. Então:
Isso pode ser verificado diretamente substituindo as matrizes.
Verificando a positividade e definitude:
Como todos os coeficientes são positivos e ao quadrado, . Além disso, somente se , ou seja, se for a matriz zero.
Portanto, todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas.
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo entre as duas matrizes dadas:
A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores (ou matrizes, neste caso) é: