Seja
a transformação linear dada por
Determine a matriz
que representa
em relação à base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz que representa uma transformação linear
em relação a uma base específica
. Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, bases e representação matricial. Precisaremos entender como expressar a transformação
nos vetores da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, nos dá a imagem desse vetor pela transformação. Nosso objetivo é encontrar a matriz
que faz essa representação em relação à base
.
Passo 3
Para construir a matriz de
na base
, precisamos ver como
age sobre cada vetor da base
. Ou seja, vamos calcular
e
, onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora,
. Precisamos expressar esse vetor como combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que:
Passo 5
Vamos montar o sistema de equações para encontrar
e
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Precisamos expressar
como combinação linear dos vetores da base
:
Passo 7
Montamos o sistema de equações para
e
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
.
Passo 8
Agora que temos as coordenadas de
e
na base
, podemos montar a matriz de
na base
. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas de
em relação à base
:
Resposta
A matriz que representa a transformação
na base
é: