Seja T: R^2 R^2 a transformação linear dada por
T(x, y)=(x+3 y, 2 x+2 y)
Determine a matriz [T]alpha^alpha que representa T em relação à base
alpha=(1,1),(3,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz que representa uma transformação linear em relação a uma base específica . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, bases e representação matricial. Precisaremos entender como expressar a transformação nos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, nos dá a imagem desse vetor pela transformação. Nosso objetivo é encontrar a matriz que faz essa representação em relação à base .

Passo 3

Para construir a matriz de na base , precisamos ver como age sobre cada vetor da base . Ou seja, vamos calcular e , onde e .

Passo 4

Vamos calcular T(1,1) = (1 + 3 cdot 1, 2 cdot 1 + 2 cdot 1) = (4, 4) :
(4,4) = a(1,1) + b(3,-2)
Agora, . Precisamos expressar esse vetor como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 5

Vamos montar o sistema de equações para encontrar a + 3b = 4 a - 2b = 4 e (a + 3b) - (a - 2b) = 4 - 4 5b = 0 b = 0 :
a - 0 = 4 a = 4
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos calcular T(3,-2) = (3 + 3 cdot (-2), 2 cdot 3 + 2 cdot (-2)) = (3 - 6, 6 - 4) = (-3, 2) :
(-3,2) = c(1,1) + d(3,-2)
Precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base :

Passo 7

Montamos o sistema de equações para c + 3d = -3 c - 2d = 2 e (c + 3d) - (c - 2d) = -3 - 2 5d = -5 d = -1 :
c - 2(-1) = 2 c + 2 = 2 c = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, .

Passo 8

Agora que temos as coordenadas de [T]alpha^alpha = 4 & 0 0 & -1 e na base , podemos montar a matriz de na base . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas de em relação à base :

Resposta

A matriz que representa a transformação [T]alpha^alpha = 4 & 0 0 & -1 na base é:

Exercícios relacionados