Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x-2 y+z,-3 x+y-z, 2 x-y)
Encontre o N(T). Qual a dimensão do N(T) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para encontrar o núcleo da transformação linear T(x, y, z) = (x - 2y + z, -3x + y - z, 2x - y) definida por
Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo ( T(x, y, z) = 0 = (0, 0, 0) ) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores x - 2y + z = 0 -3x + y - z = 0 2x - y = 0 em que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero. Em outras palavras:
Então, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação, podemos expressar 2x - y = 0 Rightarrow y = 2x em termos de x - 2(2x) + z = 0 -3x + (2x) - z = 0 :
x - 4x + z = 0 Rightarrow -3x + z = 0 -3x + 2x - z = 0 Rightarrow -x - z = 0
Agora, substituímos nas primeiras duas equações:
Simplificando cada uma:

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema simplificado:
-3x + z = 0 -x - z = 0
Vamos resolver uma das equações para encontrar uma relação entre -x - z = 0 Rightarrow z = -x e -3x + (-x) = 0 Rightarrow -4x = 0 Rightarrow x = 0 . Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Com , retornando para , temos , e .

Passo 5

Então, a única solução para o sistema é N(T) = 0 , , . Isso significa que o núcleo contém apenas o vetor zero:
A dimensão do núcleo é o número de vetores independentes na base do núcleo. Como só temos o vetor zero, a dimensão é 0.

Resposta

O núcleo de é e a dimensão de é 0.

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