Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para encontrar o núcleo da transformação linear definida por
Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão desse núcleo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo () de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que, quando aplicados na transformação , resultam no vetor zero. Em outras palavras:
Então, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação, podemos expressar 2x - y = 0 Rightarrow y = 2x em termos de x - 2(2x) + z = 0 -3x + (2x) - z = 0 :
x - 4x + z = 0 Rightarrow -3x + z = 0 -3x + 2x - z = 0 Rightarrow -x - z = 0
Agora, substituímos nas primeiras duas equações:
Simplificando cada uma:
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema simplificado:
-3x + z = 0 -x - z = 0
Vamos resolver uma das equações para encontrar uma relação entre -x - z = 0 Rightarrow z = -x e -3x + (-x) = 0 Rightarrow -4x = 0 Rightarrow x = 0 . Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Com , retornando para , temos , e .
Passo 5
Então, a única solução para o sistema é N(T) = 0 , , . Isso significa que o núcleo contém apenas o vetor zero:
A dimensão do núcleo é o número de vetores independentes na base do núcleo. Como só temos o vetor zero, a dimensão é 0.