Vamos resolver um exercício de transformações lineares em álgebra linear. Temos uma transformação linear definida por . Temos duas bases para : a base canônica e uma base ordenada . Vamos determinar:
a) A matriz da transformação na base canônica .
b) A matriz da transformação na base .
c) Uma matriz tal que .
Para isso, vamos precisar entender como representamos transformações lineares em diferentes bases e como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Parte a: Determinar
Como estamos trabalhando com a base canônica , a matriz da transformação é simplesmente a matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica sob .
Vamos encontrar , e , onde , e .
Calculando:
Portanto, a matriz é:
Passo 3
Parte b: Determinar
Agora, queremos a matriz da transformação na base . Para isso, seguimos os seguintes passos:
Encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de . Essa matriz tem como colunas os vetores da base expressos na base canônica .
Calcular a inversa de , .
Vamos calcular :
Calculando o determinante de :
Então,
Simplificando,
Calcular usando a fórmula:
Usando a matriz que encontramos na parte a e as matrizes e calculadas acima, multiplicamos:
Após realizar as multiplicações matrizes (os cálculos detalhados podem ser extensos, mas seguindo a multiplicação matricial corretamente, chegamos ao resultado):
Passo 4
Parte c: Encontrar a matriz tal que
Na verdade, já encontramos a matriz no passo anterior. A matriz é a matriz de mudança de base da base para a base . Portanto, a relação entre as matrizes das transformações nas duas bases é dada por: