Sejam T: R^2 R^3 e S: R^3 R^2 transformações lineares, dadas por
T(x, y)=(2 x, x-y, y) e S(x, y, z)=(y-z, z-x)
Determine:
(a) [S circ T]alpha^alpha onde alpha é a base canônica de R^2.
(b) [T circ S]beta^beta onde beta é a base canônica de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão nos dá duas transformações lineares: e , com suas respectivas fórmulas. Precisamos encontrar as matrizes das composições e em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. Para isso, vamos lembrar como representar transformações lineares em matrizes e como compor essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base canônica. Para , a base canônica é composta pelos vetores e . Para , a base canônica é , e .

Passo 3

Vamos começar pela parte (a): determinar a matriz de em relação à base canônica de . Primeiro, precisamos encontrar como transforma os vetores da base , depois aplicar nesses resultados.

Passo 4

Aplicando aos vetores da base :

Passo 5

Agora, aplicamos nos resultados de e :

Passo 6

A matriz de [S circ T]alpha^alpha = 1 & -2 -2 & 1 em relação à base canônica é formada pelos vetores resultantes de e como colunas:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): determinar a matriz de em relação à base canônica de . Aqui, repetimos o processo: aplicamos aos vetores da base de e depois aplicamos nesses resultados.

Passo 8

Aplicando aos vetores da base :

Passo 9

Agora, aplicamos nesses resultados:

Passo 10

A matriz de [T circ S]beta^beta = 0 & 2 & -2 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 em relação à base canônica é formada pelos vetores resultantes de , e como colunas:

Resposta

(a) A matriz de [S circ T]alpha^alpha = 1 & -2 -2 & 1 em relação à base canônica [T circ S]beta^beta = 0 & 2 & -2 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 é:
(b) A matriz de em relação à base canônica é:

Exercícios relacionados