Determine:
(a) onde é a base canônica de .
(b) onde é a base canônica de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão nos dá duas transformações lineares: e , com suas respectivas fórmulas. Precisamos encontrar as matrizes das composições e em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. Para isso, vamos lembrar como representar transformações lineares em matrizes e como compor essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base canônica. Para , a base canônica é composta pelos vetores e . Para , a base canônica é , e .
Passo 3
Vamos começar pela parte (a): determinar a matriz de em relação à base canônica de . Primeiro, precisamos encontrar como transforma os vetores da base , depois aplicar nesses resultados.
Passo 4
Aplicando aos vetores da base :
Passo 5
Agora, aplicamos nos resultados de e :
Passo 6
A matriz de em relação à base canônica é formada pelos vetores resultantes de e como colunas:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): determinar a matriz de em relação à base canônica de . Aqui, repetimos o processo: aplicamos aos vetores da base de e depois aplicamos nesses resultados.
Passo 8
Aplicando aos vetores da base :
Passo 9
Agora, aplicamos nesses resultados:
Passo 10
A matriz de em relação à base canônica é formada pelos vetores resultantes de , e como colunas:
Resposta
(a) A matriz de [S circ T]alpha^alpha = 1 & -2 -2 & 1 em relação à base canônica [T circ S]beta^beta = 0 & 2 & -2 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 é: