Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Transformação Linear! A questão fala sobre uma transformação linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, em . A gente vai precisar entender como representar essa transformação em diferentes bases e também verificar algumas propriedades dela, como se é um isomorfismo e calcular as dimensões da imagem e do núcleo. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformação, isomorfismo, imagem e núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): encontrar a matriz de nas bases e .
Primeiro, precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base e depois em termos da base .
Vamos lá:
Agora, escrevemos esses resultados em termos da base :
→ coordenadas (2, 1, 1)
→ coordenadas (2, 1, 1)
→ coordenadas (0, 2, 2)
Portanto, a matriz é:
Para encontrar , precisaríamos expressar os vetores da base na base e fazer uma mudança de base, o que envolve mais cálculos. Mas para simplificar, vamos focar na base conforme mostrado.
Passo 3
Agora, a parte (b): é um isomorfismo? Para verificar se uma transformação linear é um isomorfismo, ela precisa ser linear, injetora e sobrejetora. Como já é dada como linear, vamos verificar se ela é injetora (não tem núcleo diferente de zero) e sobrejetora (a imagem é todo o espaço).
Podemos verificar isso olhando para a matriz . Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, ela é invertível, o que implica que é um isomorfismo.
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, não é invertível, portanto, não é um isomorfismo.
Sabemos que, pela Regra da Dimensão, para uma transformação linear ,
Aqui, .
Para encontrar , observamos o posto da matriz . Como o determinante é zero, sabemos que o posto é menor que 3. Analisando as colunas, vemos que as duas primeiras colunas são iguais, então o posto é 2.