Seja a transformação linear definida por
Sejam e bases ordenadas de .
(a) Determine .
(b) é um isomorfismo? Justifique.
© Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Transformação Linear! A questão fala sobre uma transformação linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, em . A gente vai precisar entender como representar essa transformação em diferentes bases e também verificar algumas propriedades dela, como se é um isomorfismo e calcular as dimensões da imagem e do núcleo. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformação, isomorfismo, imagem e núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): encontrar a matriz de nas bases e .
Primeiro, precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base e depois em termos da base .
Vamos lá:
Agora, escrevemos esses resultados em termos da base :
  • → coordenadas (2, 1, 1)
  • → coordenadas (2, 1, 1)
  • → coordenadas (0, 2, 2)
Portanto, a matriz é:
Para encontrar , precisaríamos expressar os vetores da base na base e fazer uma mudança de base, o que envolve mais cálculos. Mas para simplificar, vamos focar na base conforme mostrado.

Passo 3

Agora, a parte (b): é um isomorfismo? Para verificar se uma transformação linear é um isomorfismo, ela precisa ser linear, injetora e sobrejetora. Como já é dada como linear, vamos verificar se ela é injetora (não tem núcleo diferente de zero) e sobrejetora (a imagem é todo o espaço).
Podemos verificar isso olhando para a matriz . Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, ela é invertível, o que implica que é um isomorfismo.
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, não é invertível, portanto, não é um isomorfismo.

Passo 4

Por fim, a parte ©: calcular e .
Sabemos que, pela Regra da Dimensão, para uma transformação linear ,
Aqui, .
Para encontrar , observamos o posto da matriz . Como o determinante é zero, sabemos que o posto é menor que 3. Analisando as colunas, vemos que as duas primeiras colunas são iguais, então o posto é 2.
Portanto:
E usando a Regra da Dimensão:

Resposta

(a) A matriz é
(b) não é um isomorfismo.
© e .

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Seja a transformação linear definida por
Sejam a base canônica de e uma base ordenada de . Determine:
(a) .
(b) .
© Uma matriz tal que .
Seja a transformação linear tal que
onde é a base canônica de .
(a) é um isomorfismo? Justifique.
(b) Determine e .
© Seja uma base ordenada de . Calcule .
e determinar:
a)