Sejam
a transformação linear definida por
e
e
polinômios em
. Determine:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está nos pedindo para aplicar o polinômio
à transformação linear
que transforma um vetor
em
. Basicamente, vamos usar o polinômio para combinar diferentes aplicações da transformação
para achar
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar polinômios a transformações lineares, o que envolve transformar o polinômio em uma combinação de
, a identidade e potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o polinômio
substituindo
pela transformação
. Ou seja:
Aqui,
é a transformação identidade, que deixa o vetor
inalterado.
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente. Começando com
:
Passo 4
Agora, calculamos
, que já é dada:
Passo 5
Em seguida, vamos achar
, que significa aplicar
duas vezes:
Aplicando
novamente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos combinar tudo de acordo com o polinômio:
Substituindo os valores que calculamos:
Fazendo as contas:
Passo 7
Somando tudo:
Resposta
Portanto,
.