Sejam T: R^2 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y)=(x+2 y, 3 x+4 y)
e p(t)=-3+2 t+t^2 e q(t)=-2-5 t+t^2 polinômios em P2. Determine:
(a) p(T)(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está nos pedindo para aplicar o polinômio à transformação linear que transforma um vetor em . Basicamente, vamos usar o polinômio para combinar diferentes aplicações da transformação para achar . Para isso, vamos precisar entender como aplicar polinômios a transformações lineares, o que envolve transformar o polinômio em uma combinação de , a identidade e potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o polinômio p(T) = -3I + 2T + T^2 substituindo pela transformação . Ou seja:
Aqui, é a transformação identidade, que deixa o vetor inalterado.

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente. Começando com I(x, y) = (x, y) :

Passo 4

Agora, calculamos T(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y) , que já é dada:

Passo 5

Em seguida, vamos achar T^2(x, y) = T(T(x, y)) = T(x + 2y, 3x + 4y) , que significa aplicar T(x + 2y, 3x + 4y) = ((x + 2y) + 2(3x + 4y), 3(x + 2y) + 4(3x + 4y)) duas vezes:
T^2(x, y) = (x + 2y + 6x + 8y, 3x + 6y + 12x + 16y) = (7x + 10y, 15x + 22y)
Aplicando novamente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos combinar tudo de acordo com o polinômio:
p(T)(x, y) = -3I(x, y) + 2T(x, y) + T^2(x, y)
Substituindo os valores que calculamos:
p(T)(x, y) = -3(x, y) + 2(x + 2y, 3x + 4y) + (7x + 10y, 15x + 22y)
Fazendo as contas:
= (-3x, -3y) + (2x + 4y, 6x + 8y) + (7x + 10y, 15x + 22y)

Passo 7

Somando tudo:
= (-3x + 2x + 7x, -3y + 4y + 10y) + (6x + 15x, 8y + 22y)
= (6x, 11y) + (21x, 30y) = (27x, 41y)

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados