Seja
uma transformação linear. Mostre que:
é subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
e precisa mostrar que a imagem dela, que é
, é um subespaço de
. Basicamente, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e subespaços para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se você pegar dois vetores quaisquer em
, a soma deles também está em . - Se você pegar qualquer vetor em
e multiplicar por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar esses três pontos para
.
Passo 3
Primeiro, o vetor zero de
deve estar em
. Sabemos que
é linear, então
, onde
é o vetor zero em
e
é o vetor zero em
. Isso mostra que
está em
.
Passo 4
Segundo, vamos ver se a soma de dois vetores em
também está em
. Suponha que
e
estão em
. Então existem
em
tais que
e
. Como
é linear,
, o que mostra que
também está em
.
Passo 5
Terceiro, vamos verificar se multiplicar um vetor de
por um escalar mantém o vetor dentro de
. Seja
em
e
um escalar. Então existe
em
tal que
. Como
é linear,
, mostrando que
também está em
.
Resposta
Assim, verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares. Portanto,
é, de fato, um subespaço de
.