Seja T: U V uma transformação linear. Mostre que: Im(T) é subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear e precisa mostrar que a imagem dela, que é , é um subespaço de . Basicamente, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e subespaços para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se você pegar dois vetores quaisquer em , a soma deles também está em .
  3. Se você pegar qualquer vetor em e multiplicar por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar esses três pontos para .

Passo 3

Primeiro, o vetor zero de deve estar em . Sabemos que é linear, então , onde é o vetor zero em e é o vetor zero em . Isso mostra que está em .

Passo 4

Segundo, vamos ver se a soma de dois vetores em também está em . Suponha que e estão em . Então existem em tais que e . Como é linear, , o que mostra que também está em .

Passo 5

Terceiro, vamos verificar se multiplicar um vetor de por um escalar mantém o vetor dentro de . Seja em e um escalar. Então existe em tal que . Como é linear, , mostrando que também está em .

Resposta

Assim, verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares. Portanto, é, de fato, um subespaço de .

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