Sejam os grupos (G, cdot) e (J, cdot) e seja G times J o produto direto de G por J.Estabeleça quais das aplicaçôes abaixo são homomorfismos e determine seus núcleos.
a) f1: G times J G dada por f1(x, y)=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer que a gente analise se uma certa função entre dois grupos é um homomorfismo e, se for, descobrir qual é o seu núcleo. Os grupos aqui são e , e estamos olhando para o produto direto . A função em questão é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos e o que é o núcleo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se f1((x1, y1) cdot (x2, y2)) = f1(x1, y1) cdot f1(x2, y2) é um homomorfismo. Um homomorfismo de grupos é uma função que respeita a operação dos grupos, ou seja, ela preserva a estrutura do grupo. Mais especificamente, para qualquer dois elementos (x1, y1) cdot (x2, y2) = (x1 cdot x2, y1 cdot y2) e f1((x1 cdot x2, y1 cdot y2)) = x1 cdot x2 em f1(x1, y1) cdot f1(x2, y2) = x1 cdot x2 , a função deve satisfazer:
No produto direto , a operação é definida componente a componente:
Então, vamos calcular cada lado da igualdade:
Como os dois lados são iguais, é realmente um homomorfismo.

Passo 3

Agora que sabemos que ker(f1) = (x, y) in G times J mid f1(x, y) = eG é um homomorfismo, vamos determinar o seu núcleo. O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do grupo de partida que são mapeados para o elemento identidade do grupo de chegada. No caso, o grupo de chegada é ker(f1) = (x, y) in G times J mid x = eG , então o elemento identidade é o de .
Então, o núcleo de é:
Como , isso significa que:
Ou seja, todos os pares onde a primeira componente é a identidade de , independente da segunda componente.

Resposta

A aplicação ker(f1) = , (eG, y) mid y in J , definida por é um homomorfismo de grupos e o seu núcleo é:

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