Sejam os grupos
e
e seja
o produto direto de
por J.Estabeleça quais das aplicaçôes abaixo são homomorfismos e determine seus núcleos.
a)
dada por
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema quer que a gente analise se uma certa função entre dois grupos é um homomorfismo e, se for, descobrir qual é o seu núcleo. Os grupos aqui são
e
, e estamos olhando para o produto direto
. A função em questão é
definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos e o que é o núcleo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é um homomorfismo. Um homomorfismo de grupos é uma função que respeita a operação dos grupos, ou seja, ela preserva a estrutura do grupo. Mais especificamente, para qualquer dois elementos
e
em
, a função deve satisfazer:
No produto direto
, a operação é definida componente a componente:
Então, vamos calcular cada lado da igualdade:
Como os dois lados são iguais,
é realmente um homomorfismo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um homomorfismo, vamos determinar o seu núcleo. O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do grupo de partida que são mapeados para o elemento identidade do grupo de chegada. No caso, o grupo de chegada é
, então o elemento identidade é o
de
.
Então, o núcleo de
é:
Como
, isso significa que:
Ou seja, todos os pares onde a primeira componente é a identidade de
, independente da segunda componente.
Resposta
A aplicação
definida por
é um homomorfismo de grupos e o seu núcleo é: