Seja
um operador linear cujo polinômio característico é
(a) Quais são as possibilidades para
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear
e o polinômio característico dele é
. Isso significa que os autovalores de
são 4 e -2, com multiplicidades algébricas 2 e 4, respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as possibilidades para as dimensões dos espaços próprios
e
. Para isso, vamos precisar entender sobre multiplicidade algébrica e geométrica dos autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz no polinômio característico. No nosso caso:
- O autovalor 4 tem multiplicidade algébrica 2.
- O autovalor -2 tem multiplicidade algébrica 4.
Passo 3
Agora, a multiplicidade geométrica de um autovalor é basicamente a dimensão do espaço próprio associado a ele, ou seja,
. E tem uma regra importante: a multiplicidade geométrica de cada autovalor é sempre pelo menos 1 e no máximo igual à sua multiplicidade algébrica.
Passo 4
Aplicando isso aos nossos autovalores:
- Para
, a multiplicidade geométrica pode ser 1 ou 2. - Para
, a multiplicidade geométrica pode ser 1, 2, 3 ou 4.
Resposta
As possíveis dimensões são:
-
ou -
, , ou