Seja T: V V um operador linear invertível com dim V=n. Mostre que T^-1 é um polinômio em T de grau no máximo n-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que o inverso de um operador linear , chamado , pode ser escrito como um polinômio de com grau no máximo , onde é a dimensão do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios de operadores e o teorema de Cayley-Hamilton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de um operador. Se temos um polinário , então significa aplicar esse polinômio no operador : , onde é o operador identidade.

Passo 3

Agora, o teorema de Cayley-Hamilton nos diz que qualquer operador linear satisfaz o seu próprio polinômio característico. Ou seja, se o polinômio característico de é , então .

Passo 4

Como T^n + cn-1T^n-1 + dots + c1T + c0I = 0 é invertível, o polinômio característico T^-1 = -1c0(T^n-1 + cn-1T^n-2 + dots + c1I) não tem zero em , ou seja, . Isso nos permite isolar na equação . Vamos reescrever:
Isolando :

Passo 5

Perceba que está escrito como uma combinação linear de potências de até . Isso significa que pode ser expresso como um polinômio de de grau no máximo .

Resposta

Portanto, mostramos que o operador é um polinômio em de grau no máximo .

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