Seja
um operador linear invertível com
. Mostre que
é um polinômio em
de grau no máximo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que o inverso de um operador linear
, chamado
, pode ser escrito como um polinômio de
com grau no máximo
, onde
é a dimensão do espaço vetorial
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios de operadores e o teorema de Cayley-Hamilton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de um operador. Se temos um polinário
, então
significa aplicar esse polinômio no operador
:
, onde
é o operador identidade.
Passo 3
Agora, o teorema de Cayley-Hamilton nos diz que qualquer operador linear
satisfaz o seu próprio polinômio característico. Ou seja, se o polinômio característico de
é
, então
.
Passo 4
Como
é invertível, o polinômio característico
não tem zero em
, ou seja,
. Isso nos permite isolar
na equação
. Vamos reescrever:
Isolando
:
Passo 5
Perceba que
está escrito como uma combinação linear de potências de
até
. Isso significa que
pode ser expresso como um polinômio de
de grau no máximo
.
Resposta
Portanto, mostramos que o operador
é um polinômio em
de grau no máximo
.