Seja um operador linear invertível com . Mostre que é um polinômio em de grau no máximo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que o inverso de um operador linear , chamado , pode ser escrito como um polinômio de com grau no máximo , onde é a dimensão do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como polinômios de operadores e o teorema de Cayley-Hamilton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de um operador. Se temos um polinário , então significa aplicar esse polinômio no operador : , onde é o operador identidade.
Passo 3
Agora, o teorema de Cayley-Hamilton nos diz que qualquer operador linear satisfaz o seu próprio polinômio característico. Ou seja, se o polinômio característico de é , então .
Passo 4
Como é invertível, o polinômio característico não tem zero em , ou seja, . Isso nos permite isolar na equação . Vamos reescrever:
Isolando :
Passo 5
Perceba que está escrito como uma combinação linear de potências de até . Isso significa que pode ser expresso como um polinômio de de grau no máximo .
Resposta
Portanto, mostramos que o operador é um polinômio em de grau no máximo .