Em um triângulo , mostre que a altura relativa ao lado é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a altura relativa ao lado no triângulo pode ser calculada usando vetores. A gente vai usar conceitos de geometria vetorial, especialmente o produto vetorial, para resolver isso. Precisaremos entender como calcular a magnitude do produto vetorial entre dois vetores e como isso se relaciona com a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Á
Aqui, a base é o lado e a altura é , que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, na geometria vetorial, a área de um triângulo formado por dois vetores e pode também ser calculada usando o produto vetorial:
Á
O símbolo representa o produto vetorial, e indica a magnitude do vetor resultante.
Passo 4
Como ambas as expressões representam a área do mesmo triângulo, podemos igualá-las:
Podemos simplificar cancelando o de ambos os lados:
Passo 5
Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela base :
E pronto! A gente mostrou que a altura relativa a é igual à magnitude do produto vetorial de e dividida pela magnitude de .