Em um triângulo , mostre que a altura relativa ao lado é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a altura relativa ao lado no triângulo pode ser calculada usando vetores. A gente vai usar conceitos de geometria vetorial, especialmente o produto vetorial, para resolver isso. Precisaremos entender como calcular a magnitude do produto vetorial entre dois vetores e como isso se relaciona com a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Área = 12 times base times aÁ
Aqui, a base é o lado e a altura é , que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, na geometria vetorial, a área de um triângulo formado por dois vetores Área = 12 times |AB times AC| e pode também ser calculada usando o produto vetorial:
Á
O símbolo representa o produto vetorial, e indica a magnitude do vetor resultante.
Passo 4
Como ambas as expressões representam a área do mesmo triângulo, podemos igualá-las:
12 times base times h = 12 times |AB times AC|
Podemos simplificar cancelando o base times h = |AB times AC| de ambos os lados:
Passo 5
Agora, isolamos h = |AB times AC||AB| dividindo ambos os lados pela base :
E pronto! A gente mostrou que a altura relativa a é igual à magnitude do produto vetorial de e dividida pela magnitude de .
Resposta
A altura h = |AB times AC||AB| relativa ao lado é dada por