Em um triângulo , mostre que a altura relativa ao lado é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a altura relativa ao lado no triângulo pode ser calculada usando vetores. A gente vai usar conceitos de geometria vetorial, especialmente o produto vetorial, para resolver isso. Precisaremos entender como calcular a magnitude do produto vetorial entre dois vetores e como isso se relaciona com a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Á
Aqui, a base é o lado e a altura é , que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, na geometria vetorial, a área de um triângulo formado por dois vetores e pode também ser calculada usando o produto vetorial:
Á
O símbolo representa o produto vetorial, e indica a magnitude do vetor resultante.

Passo 4

Como ambas as expressões representam a área do mesmo triângulo, podemos igualá-las:
Podemos simplificar cancelando o de ambos os lados:

Passo 5

Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela base :
E pronto! A gente mostrou que a altura relativa a é igual à magnitude do produto vetorial de e dividida pela magnitude de .

Resposta

A altura relativa ao lado é dada por

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