Seja o primeiro quadrante do plano , ou seja,
b) Determine um vetor específico em e um escalar específico tal que não pertence à . (Isso é suficiente para mostrar que não é um espaço vetorial.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que seguem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Aqui, o conjunto é o primeiro quadrante do plano , ou seja, todos os vetores onde e são maiores ou iguais a zero. A tarefa é encontrar um vetor em e um escalar tal que, quando multiplicamos por , o resultado não está mais em . Isso vai mostrar que não é um espaço vetorial.

Passo 2

Vamos escolher um vetor específico em . Um bom exemplo é . Esse vetor está no primeiro quadrante porque tanto quanto são iguais a 1, que são maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um escalar que, ao multiplicar , faça com que o resultado não esteja mais em . Se escolhermos , a multiplicação fica assim:
Observe que agora tanto o quanto o são negativos.

Passo 4

Vamos verificar se está em . O conjunto inclui apenas vetores onde e . No nosso caso, tem e , que são menores que zero. Portanto, não está em .

Resposta

Um vetor específico em é e o escalar . Assim, não pertence a , demonstrando que não é um espaço vetorial.

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Seja uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja um subespaço não nulo. Prove que:
(b) Se , além de injetora, é sobrejetora, então .
Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo, fornece a quantidade de bombons de cada tipo que compõem as caixas grandes ou pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzidas em cada mês do trimestre de um determinado ano.
TABELA 1
Pequena Grande
Nozes 2 5
Coco 4 8
Morango 3 7
TABELA 2
JAN FEV MAR
Pequena 150 220 130
Grande 120 150 180
Se associarmos as matrizes
e às tabelas 13
respectivamente, o produto AB fornecerá:
a) a produção média de bombons por caixa fabricada.
b) a produção total de bombons por caixa fabricada.
c) a produção mensal de cada tipo de bombom.
d) o número de caixas fabricadas no trimestre.
e) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom.
Se uma matriz A é tal que , ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e
Os termos e da matriz M , valem respectivamente:




O conjunto é uma base de ?