b) Determine um vetor específico em e um escalar específico tal que não pertence à . (Isso é suficiente para mostrar que não é um espaço vetorial.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que seguem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Aqui, o conjunto é o primeiro quadrante do plano , ou seja, todos os vetores onde e são maiores ou iguais a zero. A tarefa é encontrar um vetor em e um escalar tal que, quando multiplicamos por , o resultado não está mais em . Isso vai mostrar que não é um espaço vetorial.
Passo 2
Vamos escolher um vetor específico em . Um bom exemplo é . Esse vetor está no primeiro quadrante porque tanto quanto são iguais a 1, que são maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um escalar que, ao multiplicar , faça com que o resultado não esteja mais em . Se escolhermos , a multiplicação fica assim:
Observe que agora tanto o quanto o são negativos.
Passo 4
Vamos verificar se está em . O conjunto inclui apenas vetores onde e . No nosso caso, tem e , que são menores que zero. Portanto, não está em .
Resposta
Um vetor específico em é e o escalar . Assim, não pertence a , demonstrando que não é um espaço vetorial.