As funções de Bessel aparecem com frequência na análise avançada da engenharia tal como no estudo de campos elétricos. Essas funções usualmente não podem ser calculadas de forma simples e, portanto, em geral são compiladas em tabelas matemáticas padrão. Por exemplo,
x 1,8 2 2,2 2,4 2,6
J1(x) 0,5815 0,5767 0,556 0,5202 0,4708
Estime J1(2,1), usando um polinômio interpolador do 1 grau e do 2 grau. Observe que o valor verdadeiro é 0,568292 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as Funções de Bessel, que são usadas muito na engenharia, por exemplo, para estudar campos elétricos. A gente precisa estimar o valor de usando polinômios interpoladores de 1° e 2° grau. Para isso, vamos usar os valores tabelados de próximos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interpolação. É uma técnica para estimar valores que estão entre os pontos conhecidos de uma tabela. No caso, temos os valores de para , , , e . Como queremos , vamos focar nos pontos mais próximos: e .

Passo 3

Começando com o polinômio interpolador de 1° grau (também conhecido como interpolação linear), usamos dois pontos para traçar uma linha reta que passa por eles. Os pontos que vamos usar são:
  • ,
  • ,

Passo 4

A fórmula da interpolação linear é:
J1(x) approx J1(x0) + J1(x1) - J1(x0)x1 - x0 cdot (x - x0)
Substituindo os valores:
J1(2,1) approx 0,5767 + 0,556 - 0,57672,2 - 2,0 cdot (2,1 - 2,0)

Passo 5

Calculando as diferenças:
0,556 - 0,57670,2 = -0,02070,2 = -0,1035
Então:
J1(2,1) approx 0,5767 + (-0,1035) cdot 0,1 = 0,5767 - 0,01035 = 0,56635

Passo 6

Agora, vamos para o polinômio interpolador de 2° grau. Aqui, usamos três pontos para ajustar uma parábola. Os pontos que vamos usar são:
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 7

A interpolação quadrática pode ser feita usando a fórmula de diferenças divididas de Newton. Vamos construir o polinômio:
Primeiro, calculamos as diferenças:
f[x1, x0] = 0,5767 - 0,58152,0 - 1,8 = -0,00480,2 = -0,024
f[x2, x1] = 0,556 - 0,57672,2 - 2,0 = -0,02070,2 = -0,1035
f[x2, x1, x0] = f[x2, x1] - f[x1, x0]2,2 - 1,8 = -0,1035 - (-0,024)0,4 = -0,07950,4 = -0,19875

Passo 8

O polinômio interpolador de 2° grau fica:
J1(x) approx f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x - x0)(x - x1)
Substituindo:
J1(2,1) approx 0,5815 + (-0,024)(2,1 - 1,8) + (-0,19875)(2,1 - 1,8)(2,1 - 2,0)
J1(2,1) approx 0,5815 + (-0,024)(0,3) + (-0,19875)(0,3)(0,1)
J1(2,1) approx 0,5815 - 0,0072 - 0,00596 = 0,56834

Resposta

Usando a interpolação de 1° grau, , e com a interpolação de 2° grau, . O valor verdadeiro é aproximadamente 0,568292.

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