Na tabela abaixo, d é a distância, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão em t segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os dados abaixo, pelo método de interpolação do 3 grau.
0
2
4
6
8
0,000
0,049
0,070
0,087
0,103
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que relaciona o tempo em segundos com a distância em metros que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão. Precisamos descobrir qual é a distância percorrida pela bala exatamente 5 segundos após o disparo, utilizando interpolação polinomial de 3º grau.
Para resolver isso, vamos usar os dados fornecidos na tabela e aplicar o método de interpolação para ajustar um polinômio que passe por esses pontos. Com esse polinômio, podemos calcular a distância quando .
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Como queremos encontrar a distância em segundos, vamos usar os pontos mais próximos desse valor, que são , , e .
Passo 3
Agora, assumimos que o polinômio de interpolação tem a forma geral:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , , e que fazem o polinômio passar pelos pontos dados.
Passo 4
Vamos substituir os valores dos pontos na equação do polinômio para formar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiramente, podemos eliminar subtraindo a equação (1) das outras:
Subtraindo (1) de (2):
Subtraindo (1) de (3):
Subtraindo (1) de (4):
Passo 6
Agora, temos um novo sistema com as equações (5), (6) e (7):
Vamos simplificar essas equações dividindo por fatores comuns:
Dividindo (5) por 2:
0,0105 = 28a + 6b + c (8)
Dividindo (6) por 4:
0,0095 = 52a + 8b + c (9)
Dividindo (7) por 6:
0,009 = 84a + 10b + c (10)
Passo 7
Agora, subtraímos a equação (8) das equações (9) e (10) para eliminar 0,0095 - 0,0105 = (52a - 28a) + (8b - 6b) :
Subtraindo (8) de (9):
-0,001 = 24a + 2b (11)
0,009 - 0,0105 = (84a - 28a) + (10b - 6b)
Subtraindo (8) de (10):
-0,0015 = 56a + 4b (12)
Passo 8
Simplificamos as equações (11) e (12):
Dividindo (11) por 2:
-0,0005 = 12a + b (13)
Dividindo (12) por 4:
-0,000375 = 14a + b (14)
Subtraindo (14) de (13):
-0,0005 - (-0,000375) = (12a - 14a)
-0,000125 = -2a
a = -0,000125-2 = 0,0000625
Passo 9
Com o valor de -0,0005 = 12(0,0000625) + b , substituímos na equação (13) para encontrar -0,0005 = 0,00075 + b :
b = -0,0005 - 0,00075 = -0,00125
Passo 10
Agora, usamos a equação (8) para encontrar 0,0105 = 28(0,0000625) + 6(-0,00125) + c :
0,0105 = 0,00175 - 0,0075 + c
0,0105 = -0,00575 + c
c = 0,0105 + 0,00575 = 0,01625
Passo 11
Finalmente, usamos a equação (1) para encontrar 0,049 = 8(0,0000625) + 4(-0,00125) + 2(0,01625) + d :
0,049 = 0,0005 - 0,005 + 0,0325 + d
0,049 = 0,028 + d
d = 0,049 - 0,028 = 0,021
Passo 12
Agora que temos todos os coeficientes, o polinômio de interpolação é: