Na tabela abaixo, d é a distância, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão em t segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os dados abaixo, pelo método de interpolação do 3 grau.
0 2 4 6 8
0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que relaciona o tempo em segundos com a distância em metros que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão. Precisamos descobrir qual é a distância percorrida pela bala exatamente 5 segundos após o disparo, utilizando interpolação polinomial de 3º grau.
Para resolver isso, vamos usar os dados fornecidos na tabela e aplicar o método de interpolação para ajustar um polinômio que passe por esses pontos. Com esse polinômio, podemos calcular a distância quando .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Como queremos encontrar a distância em segundos, vamos usar os pontos mais próximos desse valor, que são , , e .

Passo 3

Agora, assumimos que o polinômio de interpolação tem a forma geral:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , , e que fazem o polinômio passar pelos pontos dados.

Passo 4

Vamos substituir os valores dos pontos na equação do polinômio para formar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiramente, podemos eliminar subtraindo a equação (1) das outras:
Subtraindo (1) de (2):
Subtraindo (1) de (3):
Subtraindo (1) de (4):

Passo 6

Agora, temos um novo sistema com as equações (5), (6) e (7):
Vamos simplificar essas equações dividindo por fatores comuns:
Dividindo (5) por 2:
Dividindo (6) por 4:
Dividindo (7) por 6:

Passo 7

Agora, subtraímos a equação (8) das equações (9) e (10) para eliminar :
Subtraindo (8) de (9):
Subtraindo (8) de (10):

Passo 8

Simplificamos as equações (11) e (12):
Dividindo (11) por 2:
Dividindo (12) por 4:
Subtraindo (14) de (13):

Passo 9

Com o valor de , substituímos na equação (13) para encontrar :

Passo 10

Agora, usamos a equação (8) para encontrar :

Passo 11

Finalmente, usamos a equação (1) para encontrar :

Passo 12

Agora que temos todos os coeficientes, o polinômio de interpolação é:
Para encontrar a distância em segundos, substituímos:

Resposta

A distância percorrida pela bala 5 segundos após o disparo é aproximadamente .

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