Na tabela abaixo, d é a distância, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão em t segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os dados abaixo, pelo método de interpolação do 3 grau.
t(s) 0 2 4 6 8
d(m) 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que relaciona o tempo em segundos com a distância em metros que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão. Precisamos descobrir qual é a distância percorrida pela bala exatamente 5 segundos após o disparo, utilizando interpolação polinomial de 3º grau.
Para resolver isso, vamos usar os dados fornecidos na tabela e aplicar o método de interpolação para ajustar um polinômio que passe por esses pontos. Com esse polinômio, podemos calcular a distância quando .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
c|ccccc t (s) & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 hline d (m) & 0,000 & 0,049 & 0,070 & 0,087 & 0,103
Como queremos encontrar a distância em segundos, vamos usar os pontos mais próximos desse valor, que são , , e .

Passo 3

Agora, assumimos que o polinômio de interpolação tem a forma geral:
P(t) = a t^3 + b t^2 + c t + d
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , , e que fazem o polinômio passar pelos pontos dados.

Passo 4

Vamos substituir os valores dos pontos na equação do polinômio para formar um sistema de equações:
Para 0,049 = a (2)^3 + b (2)^2 + c (2) + d :
0,049 = 8a + 4b + 2c + d (1)
0,070 = a (4)^3 + b (4)^2 + c (4) + d
Para 0,070 = 64a + 16b + 4c + d (2) :
0,087 = a (6)^3 + b (6)^2 + c (6) + d
0,087 = 216a + 36b + 6c + d (3)
Para 0,103 = a (8)^3 + b (8)^2 + c (8) + d :
0,103 = 512a + 64b + 8c + d (4)
Para :

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiramente, podemos eliminar 0,070 - 0,049 = (64a - 8a) + (16b - 4b) + (4c - 2c) subtraindo a equação (1) das outras:
Subtraindo (1) de (2):
0,021 = 56a + 12b + 2c (5)
0,087 - 0,049 = (216a - 8a) + (36b - 4b) + (6c - 2c)
Subtraindo (1) de (3):
0,038 = 208a + 32b + 4c (6)
0,103 - 0,049 = (512a - 8a) + (64b - 4b) + (8c - 2c)
Subtraindo (1) de (4):
0,054 = 504a + 60b + 6c (7)

Passo 6

Agora, temos um novo sistema com as equações (5), (6) e (7):
0,021 = 56a + 12b + 2c 0,038 = 208a + 32b + 4c 0,054 = 504a + 60b + 6c
Vamos simplificar essas equações dividindo por fatores comuns:
Dividindo (5) por 2:
0,0105 = 28a + 6b + c (8)
Dividindo (6) por 4:
0,0095 = 52a + 8b + c (9)
Dividindo (7) por 6:
0,009 = 84a + 10b + c (10)

Passo 7

Agora, subtraímos a equação (8) das equações (9) e (10) para eliminar 0,0095 - 0,0105 = (52a - 28a) + (8b - 6b) :
Subtraindo (8) de (9):
-0,001 = 24a + 2b (11)
0,009 - 0,0105 = (84a - 28a) + (10b - 6b)
Subtraindo (8) de (10):
-0,0015 = 56a + 4b (12)

Passo 8

Simplificamos as equações (11) e (12):
Dividindo (11) por 2:
-0,0005 = 12a + b (13)
Dividindo (12) por 4:
-0,000375 = 14a + b (14)
Subtraindo (14) de (13):
-0,0005 - (-0,000375) = (12a - 14a)
-0,000125 = -2a
a = -0,000125-2 = 0,0000625

Passo 9

Com o valor de -0,0005 = 12(0,0000625) + b , substituímos na equação (13) para encontrar -0,0005 = 0,00075 + b :
b = -0,0005 - 0,00075 = -0,00125

Passo 10

Agora, usamos a equação (8) para encontrar 0,0105 = 28(0,0000625) + 6(-0,00125) + c :
0,0105 = 0,00175 - 0,0075 + c
0,0105 = -0,00575 + c
c = 0,0105 + 0,00575 = 0,01625

Passo 11

Finalmente, usamos a equação (1) para encontrar 0,049 = 8(0,0000625) + 4(-0,00125) + 2(0,01625) + d :
0,049 = 0,0005 - 0,005 + 0,0325 + d
0,049 = 0,028 + d
d = 0,049 - 0,028 = 0,021

Passo 12

Agora que temos todos os coeficientes, o polinômio de interpolação é:
P(t) = 0,0000625, t^3 - 0,00125, t^2 + 0,01625, t + 0,021
Para encontrar a distância em P(5) = 0,0000625 times 5^3 - 0,00125 times 5^2 + 0,01625 times 5 + 0,021 segundos, substituímos:
P(5) = 0,0000625 times 125 - 0,00125 times 25 + 0,01625 times 5 + 0,021
P(5) = 0,0078125 - 0,03125 + 0,08125 + 0,021
P(5) = 0,0788125, m

Resposta

A distância percorrida pela bala 5 segundos após o disparo é aproximadamente .

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