(a) Seja tal que . Determine [u]alpha.
(b) Seja v in R^3 tal que [v]alpha=[l1 2 3]. Determine [v]beta.
Passo 1
Então, temos dois vetores e em com coordenadas dadas em duas bases diferentes, e . O objetivo é encontrar as coordenadas de na base e as coordenadas de na base . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): determinar 1 2 3 sabendo que . Para isso, precisamos da matriz de mudança de base de para , que chamaremos de .
Passo 3
A matriz [u]alpha = Palpha beta cdot [u]beta é formada pelas coordenadas dos vetores da base expressas na base . Se conhecermos essa matriz, podemos encontrar multiplicando pelo vetor :
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): determinar 1 2 3 sabendo que . Para isso, precisamos da matriz de mudança de base de para , que é a inversa de , ou seja, .
Passo 5
Com a matriz [v]beta = Pbeta alpha cdot [v]alpha em mãos, podemos encontrar multiplicando pelo vetor :
Resposta
Para determinar e , é necessário conhecer as matrizes de mudança de base e . Com essas matrizes, aplicamos as multiplicações descritas acima para obter as coordenadas desejadas.