(a) Seja u in R^3 tal que [u]beta=[l1 2 3]. Determine [u]alpha.
(b) Seja v in R^3 tal que [v]alpha=[l1 2 3]. Determine [v]beta.

Passo 1

Então, temos dois vetores e em com coordenadas dadas em duas bases diferentes, e . O objetivo é encontrar as coordenadas de na base e as coordenadas de na base . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): determinar 1 2 3 sabendo que . Para isso, precisamos da matriz de mudança de base de para , que chamaremos de .

Passo 3

A matriz [u]alpha = Palpha beta cdot [u]beta é formada pelas coordenadas dos vetores da base expressas na base . Se conhecermos essa matriz, podemos encontrar multiplicando pelo vetor :

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): determinar 1 2 3 sabendo que . Para isso, precisamos da matriz de mudança de base de para , que é a inversa de , ou seja, .

Passo 5

Com a matriz [v]beta = Pbeta alpha cdot [v]alpha em mãos, podemos encontrar multiplicando pelo vetor :

Resposta

Para determinar e , é necessário conhecer as matrizes de mudança de base e . Com essas matrizes, aplicamos as multiplicações descritas acima para obter as coordenadas desejadas.

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