Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
c) (Z times Z, oplus, odot) com as operações dadas por:
(a, b) oplus(c, d)=(a+c, b+d) e (a, b) odot(c, d)=(a c, a d+b c)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto formado por pares de números inteiros, , e duas operações definidas: uma para “somar” esses pares e outra para “multiplicar”. O objetivo é verificar se, com essas operações, esse conjunto forma o que chamamos de um anel. Além disso, vamos ver se esse anel tem uma unidade (um elemento que age como 1 na multiplicação), se possui divisores de zero, se é um corpo (onde todo elemento diferente de zero tem inverso multiplicativo), e se é um anel de integridade (um anel sem divisores de zero e com unidade).

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um anel. Um anel é um conjunto com duas operações (geralmente chamadas de adição e multiplicação) que satisfazem certas propriedades:
  1. Aditivo: O conjunto é um grupo abeliano sob a adição. Isso significa que a adição é comutativa ( a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c ), associativa ( (a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c ), e existe um elemento neutro (o zero) tal que . Além disso, cada elemento tem um inverso aditivo ( ).
  2. Multiplicativo: A multiplicação é associativa ( ).
  3. Distributiva: A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja:
    e
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com as operações dadas.

Passo 3

Verificando a adição:
A operação de adição está definida como:
(a, b) oplus (c, d) = (a + c, b + d)
Isso é a adição usual de pares ordenados, que sabemos que forma um grupo abeliano:
  • Comutativa:
  • Associativa:
  • Elemento neutro: pois
  • Inverso aditivo: Para cada , o inverso é
Portanto, a adição satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 4

Verificando a multiplicação:
A operação de multiplicação está definida como:
(a, b) odot (c, d) = (a c, a d + b c)
Vamos verificar se a multiplicação é associativa.
Seja (c, d) odot (e, f) = (c e, c f + d e) , (a, b) odot (c e, c f + d e) = (a (c e), a (c f + d e) + b (c e)) = (a c e, a c f + a d e + b c e) , e (a, b) odot (c, d) = (a c, a d + b c) elementos de (a c, a d + b c) odot (e, f) = (a c e, a c f + (a d + b c) e) = (a c e, a c f + a d e + b c e) .
Calculando :
Então,
Agora, calculando :
Então,
Como os dois resultados são iguais, a multiplicação é associativa.

Passo 5

Verificando a distributividade:
Vamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição. Precisamos checar:
  1. = (a (c + e), a (d + f) + b (c + e)) = (a c + a e, a d + a f + b c + b e)
= (a c + a e, a d + b c + a f + b e)
Como os dois resultados são iguais, a distributividade é satisfeita.

Passo 6

Conclusão sobre o anel:
Como todas as propriedades do anel são satisfeitas (adição formando um grupo abeliano, multiplicação associativa, e distributividade), podemos afirmar que é um anel.

Passo 7

Verificando a existência de unidade:
Para que o anel tenha uma unidade, deve existir um elemento (a, b) odot (u1, u2) = (a cdot u1, a cdot u2 + b cdot u1) = (a, b) tal que para todo a cdot u1 = a :
a cdot u2 + b cdot u1 = b
Isso nos dá o sistema de equações:
a cdot u2 + b = b
A primeira equação implica que . Substituindo na segunda equação:
O que implica para todo . Isso só é possível se .
Portanto, o elemento age como a unidade no anel.

Passo 8

Verificando divisores de zero:
Divisores de zero são pares diferentes de (1, 0) odot (0, 1) = (1 cdot 0, 1 cdot 1 + 0 cdot 0) = (0, 1) neq (0, 0) que, ao serem multiplicados, resultam em (1, -1) odot (1, 1) = (1 cdot 1, 1 cdot 1 + (-1) cdot 1) = (1, 0) .
Vamos tentar encontrar tais elementos. Por exemplo:
(2, -2) odot (3, 3) = (2 cdot 3, 2 cdot 3 + (-2) cdot 3) = (6, 0)
Outro exemplo:
(a c, a d + b c) = (0, 0)
Aqui, não obtivemos a c = 0 . Vamos tentar com a d + b c = 0 e :
Ainda não . Parece que nesse anel, não encontramos divisores de zero facilmente. Porém, para garantir, vamos provar que não existem.
Assume que e tal que:
Isso implica:
Se , então da primeira equação, , mas isso implicaria . Se também for 0, então , o que não queremos. Similarmente, se , então . Se , então , mas isso não força a ser . Assim, não existem divisores de zero no anel.

Passo 9

Verificando se é um corpo:
Um corpo é um anel com unidade onde todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. Já vimos que o anel tem unidade e não possui divisores de zero, mas será que todo elemento (a, b) odot (c, d) = (1, 0) tem um inverso?
Para encontrar o inverso de a c = 1 , precisaríamos de a d + b c = 0 tal que:
1 cdot d + b cdot 1 = 0 Rightarrow d = -b
Ou seja:
-1 cdot d + b cdot (-1) = 0 Rightarrow -d - b = 0 Rightarrow d = -b
Da primeira equação, . Mas é inteiro, então a única possibilidade é , caso contrário não é inteiro. Mesmo assim, vamos tentar:
Se , então e a segunda equação fica:
Então, o inverso de seria .
Se , então e a segunda equação fica:
Então, o inverso de seria .
Porém, para outros valores de , não conseguimos encontrar e inteiros que satisfaçam as equações. Portanto, nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, então não é um corpo.

Passo 10

Verificando se é um anel de integridade:
Um anel de integridade é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Já vimos que:
  • O anel (a, b) odot (c, d) = (a c, a d + b c) tem unidade ( (c, d) odot (a, b) = (c a, c b + d a) = (a c, a d + b c) )
  • Não possui divisores de zero
Agora, vamos verificar se a multiplicação é comutativa:
Como e , a multiplicação é comutativa.
Então, o anel é comutativo, tem unidade e não possui divisores de zero, logo é um anel de integridade.

Resposta

Sim, é um anel com unidade, não possui divisores de zero, não é um corpo, mas é um anel de integridade.

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