Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
c) com as operações dadas por:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto formado por pares de números inteiros, , e duas operações definidas: uma para “somar” esses pares e outra para “multiplicar”. O objetivo é verificar se, com essas operações, esse conjunto forma o que chamamos de um anel. Além disso, vamos ver se esse anel tem uma unidade (um elemento que age como 1 na multiplicação), se possui divisores de zero, se é um corpo (onde todo elemento diferente de zero tem inverso multiplicativo), e se é um anel de integridade (um anel sem divisores de zero e com unidade).

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um anel. Um anel é um conjunto com duas operações (geralmente chamadas de adição e multiplicação) que satisfazem certas propriedades:
  1. Aditivo: O conjunto é um grupo abeliano sob a adição. Isso significa que a adição é comutativa ( ), associativa ( ), e existe um elemento neutro (o zero) tal que . Além disso, cada elemento tem um inverso aditivo ( ).
  2. Multiplicativo: A multiplicação é associativa ( ).
  3. Distributiva: A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja:
    e
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com as operações dadas.

Passo 3

Verificando a adição:
A operação de adição está definida como:
Isso é a adição usual de pares ordenados, que sabemos que forma um grupo abeliano:
  • Comutativa:
  • Associativa:
  • Elemento neutro: pois
  • Inverso aditivo: Para cada , o inverso é
Portanto, a adição satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 4

Verificando a multiplicação:
A operação de multiplicação está definida como:
Vamos verificar se a multiplicação é associativa.
Seja , , e elementos de .
Calculando :
Então,
Agora, calculando :
Então,
Como os dois resultados são iguais, a multiplicação é associativa.

Passo 5

Verificando a distributividade:
Vamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição. Precisamos checar:
Como os dois resultados são iguais, a distributividade é satisfeita.

Passo 6

Conclusão sobre o anel:
Como todas as propriedades do anel são satisfeitas (adição formando um grupo abeliano, multiplicação associativa, e distributividade), podemos afirmar que é um anel.

Passo 7

Verificando a existência de unidade:
Para que o anel tenha uma unidade, deve existir um elemento tal que para todo :
Isso nos dá o sistema de equações:
A primeira equação implica que . Substituindo na segunda equação:
O que implica para todo . Isso só é possível se .
Portanto, o elemento age como a unidade no anel.

Passo 8

Verificando divisores de zero:
Divisores de zero são pares diferentes de que, ao serem multiplicados, resultam em .
Vamos tentar encontrar tais elementos. Por exemplo:
Outro exemplo:
Aqui, não obtivemos . Vamos tentar com e :
Ainda não . Parece que nesse anel, não encontramos divisores de zero facilmente. Porém, para garantir, vamos provar que não existem.
Assume que e tal que:
Isso implica:
Se , então da primeira equação, , mas isso implicaria . Se também for 0, então , o que não queremos. Similarmente, se , então . Se , então , mas isso não força a ser . Assim, não existem divisores de zero no anel.

Passo 9

Verificando se é um corpo:
Um corpo é um anel com unidade onde todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. Já vimos que o anel tem unidade e não possui divisores de zero, mas será que todo elemento tem um inverso?
Para encontrar o inverso de , precisaríamos de tal que:
Ou seja:
Da primeira equação, . Mas é inteiro, então a única possibilidade é , caso contrário não é inteiro. Mesmo assim, vamos tentar:
Se , então e a segunda equação fica:
Então, o inverso de seria .
Se , então e a segunda equação fica:
Então, o inverso de seria .
Porém, para outros valores de , não conseguimos encontrar e inteiros que satisfaçam as equações. Portanto, nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, então não é um corpo.

Passo 10

Verificando se é um anel de integridade:
Um anel de integridade é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Já vimos que:
  • O anel tem unidade ( )
  • Não possui divisores de zero
Agora, vamos verificar se a multiplicação é comutativa:
Como e , a multiplicação é comutativa.
Então, o anel é comutativo, tem unidade e não possui divisores de zero, logo é um anel de integridade.

Resposta

Sim, é um anel com unidade, não possui divisores de zero, não é um corpo, mas é um anel de integridade.

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b) considerando as operações , definidas por:
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Sejam dois vetores quaisquer e seja . Mostre que e são ortogonais.