Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
c)
com as operações dadas por:
c)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto formado por pares de números inteiros,
, e duas operações definidas: uma para “somar” esses pares e outra para “multiplicar”. O objetivo é verificar se, com essas operações, esse conjunto forma o que chamamos de um anel. Além disso, vamos ver se esse anel tem uma unidade (um elemento que age como 1 na multiplicação), se possui divisores de zero, se é um corpo (onde todo elemento diferente de zero tem inverso multiplicativo), e se é um anel de integridade (um anel sem divisores de zero e com unidade).
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um anel. Um anel é um conjunto com duas operações (geralmente chamadas de adição e multiplicação) que satisfazem certas propriedades:
-
Aditivo: O conjunto é um grupo abeliano sob a adição. Isso significa que a adição é comutativa (
), associativa ( ), e existe um elemento neutro (o zero) tal que . Além disso, cada elemento tem um inverso aditivo ( ). -
Multiplicativo: A multiplicação é associativa (
). -
Distributiva: A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja:e
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 3
Verificando a adição:
A operação de adição está definida como:
Isso é a adição usual de pares ordenados, que sabemos que forma um grupo abeliano:
- Comutativa:
- Associativa:
- Elemento neutro:
pois - Inverso aditivo: Para cada
, o inverso é
Portanto, a adição satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 4
Verificando a multiplicação:
A operação de multiplicação está definida como:
Vamos verificar se a multiplicação é associativa.
Seja
,
, e
elementos de
.
Calculando
:
Então,
Agora, calculando
:
Então,
Como os dois resultados são iguais, a multiplicação é associativa.
Passo 5
Verificando a distributividade:
Vamos verificar se a multiplicação distribui sobre a adição. Precisamos checar:
Como os dois resultados são iguais, a distributividade é satisfeita.
Passo 6
Conclusão sobre o anel:
Como todas as propriedades do anel são satisfeitas (adição formando um grupo abeliano, multiplicação associativa, e distributividade), podemos afirmar que
é um anel.
Passo 7
Verificando a existência de unidade:
Para que o anel tenha uma unidade, deve existir um elemento
tal que para todo
:
Isso nos dá o sistema de equações:
A primeira equação implica que
. Substituindo na segunda equação:
O que implica
para todo
. Isso só é possível se
.
Portanto, o elemento
age como a unidade no anel.
Passo 8
Verificando divisores de zero:
Divisores de zero são pares diferentes de
que, ao serem multiplicados, resultam em
.
Vamos tentar encontrar tais elementos. Por exemplo:
Outro exemplo:
Aqui, não obtivemos
. Vamos tentar com
e
:
Ainda não
. Parece que nesse anel, não encontramos divisores de zero facilmente. Porém, para garantir, vamos provar que não existem.
Assume que
e
tal que:
Isso implica:
Se
, então da primeira equação,
, mas isso implicaria
. Se
também for 0, então
, o que não queremos. Similarmente, se
, então
. Se
, então
, mas isso não força
a ser
. Assim, não existem divisores de zero no anel.
Passo 9
Verificando se é um corpo:
Um corpo é um anel com unidade onde todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. Já vimos que o anel tem unidade e não possui divisores de zero, mas será que todo elemento
tem um inverso?
Para encontrar o inverso de
, precisaríamos de
tal que:
Ou seja:
Da primeira equação,
. Mas
é inteiro, então a única possibilidade é
, caso contrário
não é inteiro. Mesmo assim, vamos tentar:
Se
, então
e a segunda equação fica:
Então, o inverso de
seria
.
Se
, então
e a segunda equação fica:
Então, o inverso de
seria
.
Porém, para outros valores de
, não conseguimos encontrar
e
inteiros que satisfaçam as equações. Portanto, nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, então não é um corpo.
Passo 10
Verificando se é um anel de integridade:
Um anel de integridade é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Já vimos que:
- O anel
tem unidade ( ) - Não possui divisores de zero
Agora, vamos verificar se a multiplicação é comutativa:
Como
e
, a multiplicação é comutativa.
Então, o anel é comutativo, tem unidade e não possui divisores de zero, logo é um anel de integridade.
Resposta
Sim,
é um anel com unidade, não possui divisores de zero, não é um corpo, mas é um anel de integridade.
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Verdadeiro ou falso? d. () Não existem
e
tais que ang
radianos.
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
b) considerando as operações
, definidas por:
b)
Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Sejam dois vetores quaisquer
e seja
. Mostre que
e
são ortogonais.