Seja a transformação , onde e . Desenhe a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma transformação , onde , e . O conteúdo aqui é sobre transformações no espaço tridimensional, mais especificamente sobre como uma transformação pode mapear pontos de um plano bidimensional para o espaço 3D. Para resolver, vamos precisar entender como essa transformação funciona e determinar qual é a “imagem” dela, ou seja, qual o conjunto de pontos que resultam dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações dadas pela transformação:
Aqui, e são variáveis que definem qualquer ponto no plano bidimensional. A transformação nos está dizendo como cada ponto desse plano é mapeado para um ponto no espaço tridimensional .

Passo 3

Para encontrar a imagem da transformação , queremos descrever todos os pontos que podem ser obtidos a partir de quaisquer valores de e . Vamos tentar expressar em termos de e :
Sabemos que e , então podemos substituir por e por na equação de :
Isso nos dá a equação:

Resposta

A imagem da transformação é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação , ou seja, é o plano definido por:

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Calcule o gradiente das funções dadas:
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a)