Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois espaços vetoriais, e , definidos por conjuntos de vetores específicos. Além disso, existe uma transformação linear que mapeia vetores de para através de uma matriz conhecida. A questão quer que a gente:
a) Encontre uma base para .
b) Encontre uma base para .
c) Determine o espaço imagem de .
d) Se tiver uma inversa pela esquerda, encontre tal que .
e) Se tiver uma inversa pela direita, encontre tal que .
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
(a) Encontrar uma base para U = u: u = u1 u2 0 u1 - 2u2 , , u1, u2 in R .
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Dado que u = u1 1 0 0 1 + u2 0 1 0 -2 é definido por:
1 0 0 1
Podemos ver que cada vetor em 0 1 0 -2 é determinado por e . Vamos expressar como uma combinação linear desses parâmetros:
Então, os vetores e formam uma base para , já que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores, e eles são linearmente independentes.
Passo 3
(b) Encontrar uma base para V = v = v1 v2 , , v1 + v2 = 0 .
Vamos analisar o espaço v = v1 1 -1 :
1 -1
A condição nos diz que . Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que é gerado pelo vetor . Como temos apenas um vetor não nulo, este vetor sozinho forma uma base para .
O espaço imagem de uma transformação linear a1 = 1 1 1 1 , a2 = -1 0 1 1 é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando k1 a1 + k2 a2 = 0 a vetores de k1 - k2 = 0 k1 + 0k2 = 0 k1 + k2 = 0 k1 + k2 = 0 . Essencialmente, é a “imagem” dos vetores após a transformação.
Dada a matriz de 1 1 1 1 , -1 0 1 1 :
Para encontrar o espaço imagem, precisamos determinar os vetores coluna de e verificar sua linearidade.
Os vetores coluna são:
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, o espaço imagem será gerado por apenas um deles.
Suponha que exista escalares e tais que:
Isso leva ao sistema:
Resolvendo, vemos que e, consequentemente, . Portanto, e são linearmente independentes, o que significa que o espaço imagem de é gerado por esses dois vetores. Assim, uma base para o espaço imagem de é:
Passo 5
(d) Encontrar B A = I2 times 2 tal que A = 1 & -1 1 & 0 1 & 1 1 & 1 , assumindo que B = b11 & b12 & b13 & b14 b21 & b22 & b23 & b24 tem uma inversa pela esquerda.
Uma inversa pela esquerda de B A = b11 + b12 + b13 + b14 & -b11 + b23 + b24 b21 + b22 + b23 + b24 & -b21 + b23 + b24 = 1 & 0 0 & 1 é uma matriz B = 12 & 12 & 0 & 0 -12 & 12 & 1 & 1 que satisfaz B A = 12 cdot 1 + 12 cdot 1 + 0 cdot 1 + 0 cdot 1 & 12 cdot (-1) + 12 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 1 -12 cdot 1 + 12 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 & -12 cdot (-1) + 12 cdot 0 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 & 0 0 & 1 , onde é a matriz identidade. Isso permite que, ao multiplicarmos por qualquer vetor , obtenhamos .
Para encontrar , precisamos que:
Dada a matriz :
Como é uma matriz , ela não é quadrada e, portanto, não possui uma inversa usual. Contudo, podemos procurar uma inversa pela esquerda, que seria uma matriz , tal que .
Vamos supor que:
Multiplicando por :
Resolvendo o sistema de equações, encontramos valores para os elementos de . Após cálculos, uma possível solução é:
Verificando:
Portanto, satisfaz a condição necessária.
Passo 6
(e) Encontrar tal que , assumindo que tem uma inversa pela direita.
Uma inversa pela direita de é uma matriz tal que , onde é a matriz identidade adequada. Neste caso, seria uma matriz .
No entanto, a matriz é e não é quadrada, o que geralmente impede a existência de uma inversa pela direita. Mesmo assim, podemos tentar encontrar uma matriz que satisfaça para todo .
Considerando que é gerado por dois vetores, precisaria funcionar corretamente para esses geradores. Porém, devido à dimensão de , não é possível encontrar uma inversa pela direita que funcione para todo , já que não é injetora (suas colunas não são suficientes para cobrir completamente).
Portanto, não existe uma matriz que satisfaça para todo .
Resposta
Respondendo a cada parte solicitada:
a) Uma base para 1 0 0 1 é 0 1 0 -2 .
b) Uma base para 1 -1 é 1 1 1 1 .
c) O espaço imagem de -1 0 1 1 é gerado por B = 12 & 12 & 0 & 0 -12 & 12 & 1 & 1 .
d) Uma matriz que satisfaz é:
e) Não existe uma matriz que satisfaça para todo .