Sejam e espaços vetoriais reais. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se
(a) uma base para ;
(b) uma base para ;
© o espaço imagem de ;
(d) caso tenha inversa pela esquerda, forneça tal que ;
(e) caso tenha inversa pela direita, forneça tal que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois espaços vetoriais, e , definidos por conjuntos de vetores específicos. Além disso, existe uma transformação linear que mapeia vetores de para através de uma matriz conhecida. A questão quer que a gente:
a) Encontre uma base para .
b) Encontre uma base para .
c) Determine o espaço imagem de .
d) Se tiver uma inversa pela esquerda, encontre tal que .
e) Se tiver uma inversa pela direita, encontre tal que .
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

(a) Encontrar uma base para .

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Dado que é definido por:
Podemos ver que cada vetor em é determinado por e . Vamos expressar como uma combinação linear desses parâmetros:
Então, os vetores e formam uma base para , já que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores, e eles são linearmente independentes.

Passo 3

(b) Encontrar uma base para .

Vamos analisar o espaço :
A condição nos diz que . Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que é gerado pelo vetor . Como temos apenas um vetor não nulo, este vetor sozinho forma uma base para .

Passo 4

© Determinar o espaço imagem de .

O espaço imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Essencialmente, é a “imagem” dos vetores após a transformação.
Dada a matriz de :
Para encontrar o espaço imagem, precisamos determinar os vetores coluna de e verificar sua linearidade.
Os vetores coluna são:
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, o espaço imagem será gerado por apenas um deles.
Suponha que exista escalares e tais que:
Isso leva ao sistema:
Resolvendo, vemos que e, consequentemente, . Portanto, e são linearmente independentes, o que significa que o espaço imagem de é gerado por esses dois vetores. Assim, uma base para o espaço imagem de é:

Passo 5

(d) Encontrar tal que , assumindo que tem uma inversa pela esquerda.

Uma inversa pela esquerda de é uma matriz que satisfaz , onde é a matriz identidade. Isso permite que, ao multiplicarmos por qualquer vetor , obtenhamos .
Para encontrar , precisamos que:
Dada a matriz :
Como é uma matriz , ela não é quadrada e, portanto, não possui uma inversa usual. Contudo, podemos procurar uma inversa pela esquerda, que seria uma matriz , tal que .
Vamos supor que:
Multiplicando por :
Resolvendo o sistema de equações, encontramos valores para os elementos de . Após cálculos, uma possível solução é:
Verificando:
Portanto, satisfaz a condição necessária.

Passo 6

(e) Encontrar tal que , assumindo que tem uma inversa pela direita.

Uma inversa pela direita de é uma matriz tal que , onde é a matriz identidade adequada. Neste caso, seria uma matriz .
No entanto, a matriz é e não é quadrada, o que geralmente impede a existência de uma inversa pela direita. Mesmo assim, podemos tentar encontrar uma matriz que satisfaça para todo .
Considerando que é gerado por dois vetores, precisaria funcionar corretamente para esses geradores. Porém, devido à dimensão de , não é possível encontrar uma inversa pela direita que funcione para todo , já que não é injetora (suas colunas não são suficientes para cobrir completamente).
Portanto, não existe uma matriz que satisfaça para todo .

Resposta

Respondendo a cada parte solicitada:
a) Uma base para é .
b) Uma base para é .
c) O espaço imagem de é gerado por .
d) Uma matriz que satisfaz é:
e) Não existe uma matriz que satisfaça para todo .

Exercícios relacionados

Sejam os vetores abaixo:
Diga se e são linearmente independentes. Em caso afirmativo, defina o espaço vetorial gerado por eles.
Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial .
(b) Seja um um subconjunto de , ou seja, , definido como
Diga se o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Sejam um espaço vetorial real. Seja um operador linear em , induzido pela matriz
Pede-se
(a) duas bases diferentes para ;
(b) o espaço imagem de ;
© as matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a) acima;
(d) caso tenha inversa em , sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas;
  1. Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares e .
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.