Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois espaços vetoriais, e , definidos por conjuntos de vetores específicos. Além disso, existe uma transformação linear que mapeia vetores de para através de uma matriz conhecida. A questão quer que a gente:
a) Encontre uma base para .
b) Encontre uma base para .
c) Determine o espaço imagem de .
d) Se tiver uma inversa pela esquerda, encontre tal que .
e) Se tiver uma inversa pela direita, encontre tal que .
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
(a) Encontrar uma base para .
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Dado que é definido por:
Podemos ver que cada vetor em é determinado por e . Vamos expressar como uma combinação linear desses parâmetros:
Então, os vetores e formam uma base para , já que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores, e eles são linearmente independentes.
Passo 3
(b) Encontrar uma base para .
Vamos analisar o espaço :
A condição nos diz que . Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que é gerado pelo vetor . Como temos apenas um vetor não nulo, este vetor sozinho forma uma base para .
O espaço imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Essencialmente, é a “imagem” dos vetores após a transformação.
Dada a matriz de :
Para encontrar o espaço imagem, precisamos determinar os vetores coluna de e verificar sua linearidade.
Os vetores coluna são:
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, o espaço imagem será gerado por apenas um deles.
Suponha que exista escalares e tais que:
Isso leva ao sistema:
Resolvendo, vemos que e, consequentemente, . Portanto, e são linearmente independentes, o que significa que o espaço imagem de é gerado por esses dois vetores. Assim, uma base para o espaço imagem de é:
Passo 5
(d) Encontrar tal que , assumindo que tem uma inversa pela esquerda.
Uma inversa pela esquerda de é uma matriz que satisfaz , onde é a matriz identidade. Isso permite que, ao multiplicarmos por qualquer vetor , obtenhamos .
Para encontrar , precisamos que:
Dada a matriz :
Como é uma matriz , ela não é quadrada e, portanto, não possui uma inversa usual. Contudo, podemos procurar uma inversa pela esquerda, que seria uma matriz , tal que .
Vamos supor que:
Multiplicando por :
Resolvendo o sistema de equações, encontramos valores para os elementos de . Após cálculos, uma possível solução é:
Verificando:
Portanto, satisfaz a condição necessária.
Passo 6
(e) Encontrar tal que , assumindo que tem uma inversa pela direita.
Uma inversa pela direita de é uma matriz tal que , onde é a matriz identidade adequada. Neste caso, seria uma matriz .
No entanto, a matriz é e não é quadrada, o que geralmente impede a existência de uma inversa pela direita. Mesmo assim, podemos tentar encontrar uma matriz que satisfaça para todo .
Considerando que é gerado por dois vetores, precisaria funcionar corretamente para esses geradores. Porém, devido à dimensão de , não é possível encontrar uma inversa pela direita que funcione para todo , já que não é injetora (suas colunas não são suficientes para cobrir completamente).
Portanto, não existe uma matriz que satisfaça para todo .
Resposta
Respondendo a cada parte solicitada:
a) Uma base para é .
b) Uma base para é .
c) O espaço imagem de é gerado por .
d) Uma matriz que satisfaz é:
e) Não existe uma matriz que satisfaça para todo .