Sejam um espaço vetorial real. Seja um operador linear em , induzido pela matriz
Pede-se
(a) duas bases diferentes para ;
(b) o espaço imagem de ;
© as matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a) acima;
(d) caso tenha inversa em , sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial formado por vetores , onde e são números reais. O operador linear está definido por uma matriz específica.
Para resolver as questões, vamos precisar entender:
  • Bases de um espaço vetorial: Conjuntos de vetores que “geram” todo o espaço.
  • Espaço imagem de um operador linear: Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando o operador nos vetores do espaço.
  • Mudança de base e matrizes associadas: Como a representação de um operador muda quando escolhemos bases diferentes.
  • Matriz inversa de um operador linear: Uma matriz que “desfaz” a ação da matriz original, se ela existir.
Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Duas bases diferentes para
Primeiro, precisamos encontrar duas bases diferentes para o espaço .
Sabemos que qualquer vetor em tem a forma . Isso significa que é gerado por e , ou seja, podemos expressar como uma combinação linear desses coeficientes.
Base 1: Usando os coeficientes e diretamente
Podemos escolher os vetores que correspondem a e :
,
.
Então, a primeira base é .
Base 2: Escolhendo vetores diferentes, mas que ainda geram
Podemos escolher, por exemplo, e .
Para garantir que são uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, o que podemos ver que são, pois nenhum é múltiplo do outro.
Então, a segunda base é .

Passo 3

(b) O espaço imagem de
O espaço imagem de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando nos vetores de .
Para encontrar isso, vamos multiplicar a matriz por um vetor qualquer de :
.
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira linha:
    .
  2. Segunda linha:
    .
  3. Terceira linha:
    .
Então, .
Agora, vamos ver quais combinações lineares isso gera. Observamos que a segunda componente depende apenas de , e as outras componentes estão relacionadas a e .
Podemos expressar o espaço imagem como:
.
Podemos simplificar isso identificando uma base para o espaço imagem. Observando as combinações, vemos que:
.
Então, uma base para é:
.

Passo 4

© As matrizes que induzem a transformação linear nas bases escolhidas no item (a)
Vamos encontrar as matrizes de nas bases e que escolhemos no item (a).
Primeiro, é importante lembrar que para encontrar a representação de uma transformação linear em uma nova base, usamos a seguinte fórmula:
Para a base :
Calculamos e usando a matriz :
.
.
Agora, precisamos expressar esses vetores na base . Vamos resolver:
Para , queremos encontrar e tais que:
.
Substituindo:
.
Isso nos dá:
,
,
.
Consistente, então .
Para , queremos e tais que:
.
Substituindo:
.
Isso nos dá:
,
,
.
Consistente, então .
Portanto, a matriz de na base é:
.
Para a base :
Vamos repetir o processo com e .
Calculamos e :
.
.
Agora, expressamos esses vetores na base .
Para , queremos encontrar e tais que:
.
Substituindo:
.
Isso nos dá:
,
,
.
Da terceira equação, . Substituindo na segunda: , então .
Então, .
Para , queremos e tais que:
.
Substituindo:
.
Isso nos dá:
,
,
.
Da terceira equação, . Substituindo na segunda: , então .
Então, .
Portanto, a matriz de na base é:
.

Passo 5

(d) Caso tenha inversa em , sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Calculamos o determinante de .
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
,
onde .
Para nossa matriz:
, , ,
, , ,
, , .
Então,
.
Calculando cada parte:
.
Como , a matriz não é invertível. Portanto, não existe a inversa de em .

Resposta

(a) Duas bases diferentes para são e .
(b) O espaço imagem de é , com base .
© As matrizes que induzem a transformação linear nas bases escolhidas são:
  • Na base : .
  • Na base : .
(d) A matriz não possui inversa em , pois seu determinante é zero.

Exercícios relacionados

Sejam e espaços vetoriais reais. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se
(a) uma base para ;
(b) uma base para ;
© o espaço imagem de ;
(d) caso tenha inversa pela esquerda, forneça tal que ;
(e) caso tenha inversa pela direita, forneça tal que .
Sejam os vetores abaixo:
Diga se e são linearmente independentes. Em caso afirmativo, defina o espaço vetorial gerado por eles.
  1. Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares e .
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.
Sejam quatro transformações lineares , , induzidas por matrizes . Repare que é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que e .
Mostre que
e que se , então