Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial formado por vetores , onde e são números reais. O operador linear está definido por uma matriz específica.
Para resolver as questões, vamos precisar entender:
Bases de um espaço vetorial: Conjuntos de vetores que “geram” todo o espaço.
Espaço imagem de um operador linear: Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando o operador nos vetores do espaço.
Mudança de base e matrizes associadas: Como a representação de um operador muda quando escolhemos bases diferentes.
Matriz inversa de um operador linear: Uma matriz que “desfaz” a ação da matriz original, se ela existir.
Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Duas bases diferentes para
Primeiro, precisamos encontrar duas bases diferentes para o espaço .
Sabemos que qualquer vetor em tem a forma . Isso significa que é gerado por e , ou seja, podemos expressar como uma combinação linear desses coeficientes.
Base 1: Usando os coeficientes e diretamente
Podemos escolher os vetores que correspondem a e :
,
.
Então, a primeira base é .
Base 2: Escolhendo vetores diferentes, mas que ainda geram
Podemos escolher, por exemplo, e .
Para garantir que são uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, o que podemos ver que são, pois nenhum é múltiplo do outro.
Então, a segunda base é .
Passo 3
(b) O espaço imagem de
O espaço imagem de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando nos vetores de .
Para encontrar isso, vamos multiplicar a matriz por um vetor qualquer de :
.
Vamos calcular cada componente:
Primeira linha: .
Segunda linha: .
Terceira linha: .
Então, .
Agora, vamos ver quais combinações lineares isso gera. Observamos que a segunda componente depende apenas de , e as outras componentes estão relacionadas a e .
Podemos expressar o espaço imagem como:
.
Podemos simplificar isso identificando uma base para o espaço imagem. Observando as combinações, vemos que: