Sejam U=u: u=[lllu1 & u2 & u1-2 u2]^T, u1, u2 in R um espaço vetorial real. Seja A: U U um operador linear em U, induzido pela matriz
A=[ccc 1 & -1 & 2 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 4 ]
Pede-se
(a) duas bases diferentes para U;
(b) o espaço imagem de A;
© as matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a) acima;
(d) caso A tenha inversa em U, sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial U formado por vetores u = u1 u2 u1 - 2u2 , onde u1 e u2 são números reais. O operador linear A está definido por uma matriz específica.
Para resolver as questões, vamos precisar entender:
  • Bases de um espaço vetorial: Conjuntos de vetores que “geram” todo o espaço.
  • Espaço imagem de um operador linear: Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando o operador nos vetores do espaço.
  • Mudança de base e matrizes associadas: Como a representação de um operador muda quando escolhemos bases diferentes.
  • Matriz inversa de um operador linear: Uma matriz que “desfaz” a ação da matriz original, se ela existir.
Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Duas bases diferentes para U
Primeiro, precisamos encontrar duas bases diferentes para o espaço U.
Sabemos que qualquer vetor em U tem a forma u = u1 u2 u1 - 2u2 . Isso significa que U é gerado por u1 e u2, ou seja, podemos expressar u como uma combinação linear desses coeficientes.
Base 1: Usando os coeficientes u1 e u2 diretamente
Podemos escolher os vetores que correspondem a u1 = 1, u2 = 0 e u1 = 0, u2 = 1:
v1 = 1 0 1 ,
v2 = 0 1 -2 .
Então, a primeira base é B1 = v1, v2 .
Base 2: Escolhendo vetores diferentes, mas que ainda geram U
Podemos escolher, por exemplo, w1 = 1 1 -1 e w2 = 2 1 0 .
Para garantir que são uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, o que podemos ver que são, pois nenhum é múltiplo do outro.
Então, a segunda base é B2 = w1, w2 .

Passo 3

(b) O espaço imagem de A
O espaço imagem de A é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando A nos vetores de U.
Para encontrar isso, vamos multiplicar a matriz A por um vetor qualquer de U:
Au = A u1 u2 u1 - 2u2 = 1 & -1 & 2 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 4 u1 u2 u1 - 2u2 .
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira linha:
    1 cdot u1 + (-1) cdot u2 + 2 cdot (u1 - 2u2) = u1 - u2 + 2u1 - 4u2 = 3u1 - 5u2.
  2. Segunda linha:
    1 cdot u1 + 0 cdot u2 + (-1) cdot (u1 - 2u2) = u1 - u1 + 2u2 = 2u2.
  3. Terceira linha:
    -1 cdot u1 + (-1) cdot u2 + 4 cdot (u1 - 2u2) = -u1 - u2 + 4u1 - 8u2 = 3u1 - 9u2.
Então, Au = 3u1 - 5u2 2u2 3u1 - 9u2 .
Agora, vamos ver quais combinações lineares isso gera. Observamos que a segunda componente depende apenas de u2, e as outras componentes estão relacionadas a u1 e u2.
Podemos expressar o espaço imagem como:
Im(A) = 3u1 - 5u2 2u2 3u1 - 9u2 : u1, u2 in R .
Podemos simplificar isso identificando uma base para o espaço imagem. Observando as combinações, vemos que:
3u1 - 5u2 2u2 3u1 - 9u2 = u1 3 0 3 + u2 -5 2 -9 .
Então, uma base para Im(A) é:
BIm = 3 0 3 , -5 2 -9 .

Passo 4

© As matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a)
Vamos encontrar as matrizes de A nas bases B1 e B2 que escolhemos no item (a).
Primeiro, é importante lembrar que para encontrar a representação de uma transformação linear em uma nova base, usamos a seguinte fórmula:
AB = [Av1 Av2]B
Para a base B1 = v1, v2 :
Calculamos Av1 e Av2 usando a matriz A:
Av1 = A 1 0 1 = 1(1) + (-1)(0) + 2(1) 1(1) + 0(0) + (-1)(1) -1(1) + (-1)(0) + 4(1) = 3 0 3 .
Av2 = A 0 1 -2 = 1(0) + (-1)(1) + 2(-2) 1(0) + 0(1) + (-1)(-2) -1(0) + (-1)(1) + 4(-2) = -5 2 -9 .
Agora, precisamos expressar esses vetores na base B1. Vamos resolver:
Para Av1 = 3 0 3 , queremos encontrar a e b tais que:
av1 + bv2 = 3 0 3 .
Substituindo:
a 1 0 1 + b 0 1 -2 = a b a - 2b = 3 0 3 .
Isso nos dá:
a = 3,
b = 0,
a - 2b = 3.
Consistente, então Av1 = 3v1 + 0v2.
Para Av2 = -5 2 -9 , queremos c e d tais que:
cv1 + dv2 = -5 2 -9 .
Substituindo:
c 1 0 1 + d 0 1 -2 = c d c - 2d = -5 2 -9 .
Isso nos dá:
c = -5,
d = 2,
c - 2d = -5 - 4 = -9.
Consistente, então Av2 = -5v1 + 2v2.
Portanto, a matriz de A na base B1 é:
AB1 = 3 & -5 0 & 2 .
Para a base B2 = w1, w2 :
Vamos repetir o processo com w1 e w2.
Calculamos Aw1 e Aw2:
Aw1 = A 1 1 -1 = 1(1) + (-1)(1) + 2(-1) 1(1) + 0(1) + (-1)(-1) -1(1) + (-1)(1) + 4(-1) = 1 - 1 - 2 1 + 0 + 1 -1 -1 -4 = -2 2 -6 .
Aw2 = A 2 1 0 = 1(2) + (-1)(1) + 2(0) 1(2) + 0(1) + (-1)(0) -1(2) + (-1)(1) + 4(0) = 2 - 1 + 0 2 + 0 + 0 -2 -1 + 0 = 1 2 -3 .
Agora, expressamos esses vetores na base B2.
Para Aw1 = -2 2 -6 , queremos encontrar e e f tais que:
ew1 + fw2 = -2 2 -6 .
Substituindo:
e 1 1 -1 + f 2 1 0 = e + 2f e + f -e = -2 2 -6 .
Isso nos dá:
e + 2f = -2,
e + f = 2,
-e = -6.
Da terceira equação, e = 6. Substituindo na segunda: 6 + f = 2, então f = -4.
Então, Aw1 = 6w1 - 4w2.
Para Aw2 = 1 2 -3 , queremos g e h tais que:
gw1 + hw2 = 1 2 -3 .
Substituindo:
g 1 1 -1 + h 2 1 0 = g + 2h g + h -g = 1 2 -3 .
Isso nos dá:
g + 2h = 1,
g + h = 2,
-g = -3.
Da terceira equação, g = 3. Substituindo na segunda: 3 + h = 2, então h = -1.
Então, Aw2 = 3w1 - 1w2.
Portanto, a matriz de A na base B2 é:
AB2 = 6 & 3 -4 & -1 .

Passo 5

(d) Caso A tenha inversa em U, sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Calculamos o determinante de A = 1 & -1 & 2 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 4 .
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg),
onde A = a & b & c d & e & f g & h & i .
Para nossa matriz:
a = 1, b = -1, c = 2,
d = 1, e = 0, f = -1,
g = -1, h = -1, i = 4.
Então,
det(A) = 1(0 cdot 4 - (-1)(-1)) - (-1)(1 cdot 4 - (-1)(-1)) + 2(1 cdot (-1) - 0 cdot (-1)).
Calculando cada parte:
1(0 - 1) - (-1)(4 - 1) + 2(-1 - 0) = 1(-1) + 1(3) + 2(-1) = -1 + 3 -2 = 0.
Como det(A) = 0, a matriz A não é invertível. Portanto, não existe a inversa de A em U.

Resposta

(a) Duas bases diferentes para U são B1 = 1 0 1 , 0 1 -2 e B2 = 1 1 -1 , 2 1 0 .
(b) O espaço imagem de A é Im(A) = 3u1 - 5u2 2u2 3u1 - 9u2 : u1, u2 in R , com base BIm = 3 0 3 , -5 2 -9 .
© As matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas são:
  • Na base B1: AB1 = 3 & -5 0 & 2 .
  • Na base B2: AB2 = 6 & 3 -4 & -1 .
(d) A matriz A não possui inversa em U, pois seu determinante é zero.

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