Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial U formado por vetores u = u1 u2 u1 - 2u2 , onde u1 e u2 são números reais. O operador linear A está definido por uma matriz específica.
Para resolver as questões, vamos precisar entender:
Bases de um espaço vetorial: Conjuntos de vetores que “geram” todo o espaço.
Espaço imagem de um operador linear: Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando o operador nos vetores do espaço.
Mudança de base e matrizes associadas: Como a representação de um operador muda quando escolhemos bases diferentes.
Matriz inversa de um operador linear: Uma matriz que “desfaz” a ação da matriz original, se ela existir.
Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Duas bases diferentes para U
Primeiro, precisamos encontrar duas bases diferentes para o espaço U.
Sabemos que qualquer vetor em U tem a forma u = u1 u2 u1 - 2u2 . Isso significa que U é gerado por u1 e u2, ou seja, podemos expressar u como uma combinação linear desses coeficientes.
Base 1: Usando os coeficientes u1 e u2 diretamente
Podemos escolher os vetores que correspondem a u1 = 1, u2 = 0 e u1 = 0, u2 = 1:
v1 = 1 0 1 ,
v2 = 0 1 -2 .
Então, a primeira base é B1 = v1, v2 .
Base 2: Escolhendo vetores diferentes, mas que ainda geram U
Podemos escolher, por exemplo, w1 = 1 1 -1 e w2 = 2 1 0 .
Para garantir que são uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, o que podemos ver que são, pois nenhum é múltiplo do outro.
Então, a segunda base é B2 = w1, w2 .
Passo 3
(b) O espaço imagem de A
O espaço imagem de A é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando A nos vetores de U.
Para encontrar isso, vamos multiplicar a matriz A por um vetor qualquer de U:
Au = A u1 u2 u1 - 2u2 = 1 & -1 & 2 1 & 0 & -1 -1 & -1 & 4 u1 u2 u1 - 2u2 .
Vamos calcular cada componente:
Primeira linha: 1 cdot u1 + (-1) cdot u2 + 2 cdot (u1 - 2u2) = u1 - u2 + 2u1 - 4u2 = 3u1 - 5u2.
Agora, vamos ver quais combinações lineares isso gera. Observamos que a segunda componente depende apenas de u2, e as outras componentes estão relacionadas a u1 e u2.
Podemos expressar o espaço imagem como:
Im(A) = 3u1 - 5u2 2u2 3u1 - 9u2 : u1, u2 in R .
Podemos simplificar isso identificando uma base para o espaço imagem. Observando as combinações, vemos que: