Verifique se a resolução está correta, caso contrário, indique o(s) erro(s) e corrija-o(s):
c) A reta é ortogonal ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma reta definida por:
E queremos saber se essa reta é ortogonal ao plano . Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma reta ser ortogonal a um plano. Basicamente, uma reta é ortogonal a um plano se a direção da reta for paralela à normal do plano. Então, vamos precisar encontrar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A forma paramétrica da reta nos dá as coordenadas em função de um parâmetro, que nesse caso parece ser . Podemos reescrever as equações da reta assim:
Isso significa que, à medida que varia, muda proporcionalmente, e fica sempre 3. Então, o vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal 0x + 0y + 1z + 0 = 0 Rightarrow z = 0 do plano n = 0 0 1 . O plano é aquele onde . A equação geral de um plano é . Para o plano , a equação fica:
Então, o vetor normal é:
Passo 4
Com o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano em mãos, vamos verificar se a reta é ortogonal ao plano. Para isso, a direção da reta deve ser paralela ao vetor normal do plano. Isso acontece se o vetor diretor for múltiplo escalar do vetor normal.
Vamos comparar os vetores:
d = 1 0 1 , n = 0 0 1
Observe que não é múltiplo escalar de porque o primeiro componente de é 1, enquanto em é 0. Portanto, os vetores não são paralelos.
Passo 5
Como a direção da reta não é paralela à normal do plano , concluímos que a reta não é ortogonal ao plano.