Verifique se a resolução está correta, caso contrário, indique o(s) erro(s) e corrija-o(s):
c) A reta r3:cx=2+z y=3 é ortogonal ao plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma reta x = 2 + z y = 3 definida por:
E queremos saber se essa reta é ortogonal ao plano . Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma reta ser ortogonal a um plano. Basicamente, uma reta é ortogonal a um plano se a direção da reta for paralela à normal do plano. Então, vamos precisar encontrar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta x = 2 + z Rightarrow z = x - 2 . A forma paramétrica da reta nos dá as coordenadas y = 3 em função de um parâmetro, que nesse caso parece ser d = 1 0 1 . Podemos reescrever as equações da reta assim:
Isso significa que, à medida que varia, muda proporcionalmente, e fica sempre 3. Então, o vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal 0x + 0y + 1z + 0 = 0 Rightarrow z = 0 do plano n = 0 0 1 . O plano é aquele onde . A equação geral de um plano é . Para o plano , a equação fica:
Então, o vetor normal é:

Passo 4

Com o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano em mãos, vamos verificar se a reta é ortogonal ao plano. Para isso, a direção da reta deve ser paralela ao vetor normal do plano. Isso acontece se o vetor diretor for múltiplo escalar do vetor normal.
Vamos comparar os vetores:
d = 1 0 1 , n = 0 0 1
Observe que não é múltiplo escalar de porque o primeiro componente de é 1, enquanto em é 0. Portanto, os vetores não são paralelos.

Passo 5

Como a direção da reta não é paralela à normal do plano , concluímos que a reta não é ortogonal ao plano.

Resposta

A reta não é ortogonal ao plano .

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