Seja a transformação Linear T: R^3 nrightarrow R^2 tal que T(1,1,1)=(1,2), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0)= (3,4)
a) Determine a transformação T(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é a transformação linear que pega vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos:
Vamos precisar usar a ideia de representar a transformação linear como uma matriz e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes dessa matriz.

Passo 2

Transformações lineares entre espaços vetoriais podem ser representadas por matrizes. Como A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 vai de T(x, y, z) = A x y z = a11x + a12y + a13z a21x + a22y + a23z para , a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de :
A transformação então fica:
Nosso objetivo é descobrir os valores de .

Passo 3

Vamos usar as informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Substituindo os vetores dados na expressão de a11(1) + a12(1) + a13(1) = 1 a21(1) + a22(1) + a23(1) = 2 :
  1. Para a11(1) + a12(1) + a13(0) = 2 a21(1) + a22(1) + a23(0) = 3 :
a11(1) + a12(0) + a13(0) = 3 a21(1) + a22(0) + a23(0) = 4
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da terceira transformação a11 = 3 a21 = 4 :
3 + a12 = 2 Rightarrow a12 = 2 - 3 = -1 4 + a22 = 3 Rightarrow a22 = 3 - 4 = -1
Agora, da segunda transformação 3 + (-1) + a13 = 1 Rightarrow 2 + a13 = 1 Rightarrow a13 = -1 4 + (-1) + a23 = 2 Rightarrow 3 + a23 = 2 Rightarrow a23 = -1 :
Por fim, da primeira transformação :

Resposta

Com os valores encontrados, a matriz A = 3 & -1 & -1 4 & -1 & -1 que representa a transformação T(x, y, z) = 3x - y - z 4x - y - z é:
Então, a transformação linear é dada por:

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