Seja a transformação Linear tal que e
a) Determine a transformação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é a transformação linear que pega vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos:
Vamos precisar usar a ideia de representar a transformação linear como uma matriz e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes dessa matriz.
Passo 2
Transformações lineares entre espaços vetoriais podem ser representadas por matrizes. Como vai de para , a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de :
A transformação então fica:
Nosso objetivo é descobrir os valores de .
Passo 3
Vamos usar as informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Substituindo os vetores dados na expressão de :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da terceira transformação :
Agora, da segunda transformação :
Por fim, da primeira transformação :
Resposta
Com os valores encontrados, a matriz que representa a transformação é: