Seja a transformação Linear tal que e
a) Determine a transformação

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir qual é a transformação linear que pega vetores de para . A gente sabe como age em três vetores específicos:
Vamos precisar usar a ideia de representar a transformação linear como uma matriz e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes dessa matriz.

Passo 2

Transformações lineares entre espaços vetoriais podem ser representadas por matrizes. Como vai de para , a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de :
A transformação então fica:
Nosso objetivo é descobrir os valores de .

Passo 3

Vamos usar as informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Substituindo os vetores dados na expressão de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da terceira transformação :
Agora, da segunda transformação :
Por fim, da primeira transformação :

Resposta

Com os valores encontrados, a matriz que representa a transformação é:
Então, a transformação linear é dada por:

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
a) .
Transforme a base em uma base ortonormal.
Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt: considere .
Base ortonormal: .
Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
a) .
Dada a matriz , qual será a matriz resultante após serem efetuadas as seguintes operações elementares sobre as linhas, em sequência.