Seja o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear definida por
Encontre uma base para N u(T).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço T(a + b x + c x^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c que consiste em matrizes diagonais e uma transformação linear que mapeia polinômios de grau até 2, ou seja, , para esse subespaço . A função é definida por:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o ú, ou seja, todos os polinômios que são mapeados para a matriz zero por . Vamos precisar entender conceitos como transformação linear, nulo (ou núcleo) de uma transformação e base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T(p(x)) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , denotado ú ou , é o conjunto de todos os vetores (neste caso, polinômios) que transforma no vetor zero (a matriz zero no nosso caso).
Então, queremos encontrar todos os polinômios tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e que satisfazem todas elas simultaneamente.
Primeiro, da segunda equação:
⟹
Agora, substituímos na primeira equação:
⟹ ⟹
Podemos resolver para :
⟹
Agora, substituímos e na terceira equação para verificar:
Simplificando:
⟹
Isso confirma que nossas soluções são válidas.
Passo 4
Agora, expressamos p(x) = t(1 - 2x - 32x^2) , e em termos de um parâmetro livre. Vamos deixar ser esse parâmetro, digamos , onde é um número real qualquer.
Então:
Isso significa que todo polinômio no núcleo de pode ser escrito como:
Passo 5
Para encontrar uma base para p(x) = 1 - 2x - 32x^2 ú, precisamos identificar um conjunto mínimo de vetores que geram todo o núcleo. Como temos apenas um parâmetro , isso indica que o núcleo é unidimensional.
Portanto, uma base consiste em apenas um polinômio não nulo que pertença ao núcleo. Podemos escolher , então:
Resposta
Uma base para , 1 - 2x - 32x^2 , ú é o conjunto formado pelo polinômio . Ou seja,