Seja U subset R^3 times 3 o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear T: P2(R) U definida por
T(a+b x+c x^2)=[ccc a-b+2 c & 0 & 0 0 & 2 a+b & 0 0 & 0 & -a-2 b+2 c ]
Encontre uma base para N u(T).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço T(a + b x + c x^2) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c que consiste em matrizes diagonais e uma transformação linear que mapeia polinômios de grau até 2, ou seja, , para esse subespaço . A função é definida por:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o ú, ou seja, todos os polinômios que são mapeados para a matriz zero por . Vamos precisar entender conceitos como transformação linear, nulo (ou núcleo) de uma transformação e base de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T(p(x)) = a - b + 2c & 0 & 0 0 & 2a + b & 0 0 & 0 & -a - 2b + 2c = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , denotado ú ou , é o conjunto de todos os vetores (neste caso, polinômios) que transforma no vetor zero (a matriz zero no nosso caso).
Então, queremos encontrar todos os polinômios tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e que satisfazem todas elas simultaneamente.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Podemos resolver para :
Agora, substituímos e na terceira equação para verificar:
Simplificando:
Isso confirma que nossas soluções são válidas.

Passo 4

Agora, expressamos p(x) = t(1 - 2x - 32x^2) , e em termos de um parâmetro livre. Vamos deixar ser esse parâmetro, digamos , onde é um número real qualquer.
Então:
Isso significa que todo polinômio no núcleo de pode ser escrito como:

Passo 5

Para encontrar uma base para p(x) = 1 - 2x - 32x^2 ú, precisamos identificar um conjunto mínimo de vetores que geram todo o núcleo. Como temos apenas um parâmetro , isso indica que o núcleo é unidimensional.
Portanto, uma base consiste em apenas um polinômio não nulo que pertença ao núcleo. Podemos escolher , então:

Resposta

Uma base para , 1 - 2x - 32x^2 , ú é o conjunto formado pelo polinômio . Ou seja,

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Sejam U=SpanR(2,1,1),(1,0,2) e V=SpanR(3,1,0),(0,2,2) subespacos gerados do R^3. Determine:
(a) Uma base e a dimensão de U cup W.
Ex. 2. Simplifique:
© 2(y+4)-3 y;
Ex. 2. Simplifique:
(h) a(a-5)-3 a(2 a-9);
Ex. 2. Simplifique:
(n) (x+1)^2-(x+4)^2;