Ex. 3. Verifique as seguintes identidades: (k) $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)=x^{6}+x^{4}-x^{3}+x^{2}+1$.

Passo 1

Beleza, vamos conferir se a identidade \(\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\) realmente é igual a \(x^{6}+x^{4}-x^{3}+x^{2}+1\). Para isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de polinômios, também conhecida como distribuição. Vamos precisar multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(x^{4}\) do segundo polinômio: \[ x^{2} \cdot x^{4} = x^{6} \] \[ x \cdot x^{4} = x^{5} \] \[ 1 \cdot x^{4} = x^{4} \]

Passo 3

Agora, multiplicamos cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(-x^{3}\): \[ x^{2} \cdot (-x^{3}) = -x^{5} \] \[ x \cdot (-x^{3}) = -x^{4} \] \[ 1 \cdot (-x^{3}) = -x^{3} \]

Passo 4

Vamos multiplicar cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(x^{2}\): \[ x^{2} \cdot x^{2} = x^{4} \] \[ x \cdot x^{2} = x^{3} \] \[ 1 \cdot x^{2} = x^{2} \]

Passo 5

Agora, multiplicamos cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(-x\): \[ x^{2} \cdot (-x) = -x^{3} \] \[ x \cdot (-x) = -x^{2} \] \[ 1 \cdot (-x) = -x \]

Passo 6

Por fim, multiplicamos cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(1\): \[ x^{2} \cdot 1 = x^{2} \] \[ x \cdot 1 = x \] \[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Passo 7

Agora, vamos juntar todos os resultados das multiplicações: \[ x^{6} + x^{5} + x^{4} - x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{4} + x^{3} + x^{2} - x^{3} - x^{2} -x + x^{2} + x + 1 \]

Passo 8

Vamos simplificar combinando termos semelhantes: - \(x^{6}\) permanece. - \(x^{5} - x^{5} = 0\) - \(x^{4} - x^{4} + x^{4} = x^{4}\) - \(-x^{3} + x^{3} - x^{3} = -x^{3}\) - \(x^{2} - x^{2} + x^{2} = x^{2}\) - \(-x + x = 0\) - O termo constante é \(1\). Então, sobra: \[ x^{6} + x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1 \]

Resposta

A identidade está correta: \(\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right) = x^{6}+x^{4}-x^{3}+x^{2}+1\).

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