Ex. 3. Verifique as seguintes identidades: (k) $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)=x^{6}+x^{4}-x^{3}+x^{2}+1$.
Passo 1
Beleza, vamos conferir se a identidade \(\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\) realmente é igual a \(x^{6}+x^{4}-x^{3}+x^{2}+1\). Para isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de polinômios, também conhecida como distribuição. Vamos precisar multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e depois somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(x^{4}\) do segundo polinômio:
\[
x^{2} \cdot x^{4} = x^{6}
\]
\[
x \cdot x^{4} = x^{5}
\]
\[
1 \cdot x^{4} = x^{4}
\]
Passo 3
Agora, multiplicamos cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(-x^{3}\):
\[
x^{2} \cdot (-x^{3}) = -x^{5}
\]
\[
x \cdot (-x^{3}) = -x^{4}
\]
\[
1 \cdot (-x^{3}) = -x^{3}
\]
Passo 4
Vamos multiplicar cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(x^{2}\):
\[
x^{2} \cdot x^{2} = x^{4}
\]
\[
x \cdot x^{2} = x^{3}
\]
\[
1 \cdot x^{2} = x^{2}
\]
Passo 5
Agora, multiplicamos cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(-x\):
\[
x^{2} \cdot (-x) = -x^{3}
\]
\[
x \cdot (-x) = -x^{2}
\]
\[
1 \cdot (-x) = -x
\]
Passo 6
Por fim, multiplicamos cada termo de \(\left(x^{2}+x+1\right)\) pelo termo \(1\):
\[
x^{2} \cdot 1 = x^{2}
\]
\[
x \cdot 1 = x
\]
\[
1 \cdot 1 = 1
\]
Passo 7
Agora, vamos juntar todos os resultados das multiplicações:
\[
x^{6} + x^{5} + x^{4} - x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{4} + x^{3} + x^{2} - x^{3} - x^{2} -x + x^{2} + x + 1
\]
Passo 8
Vamos simplificar combinando termos semelhantes:
- \(x^{6}\) permanece.
- \(x^{5} - x^{5} = 0\)
- \(x^{4} - x^{4} + x^{4} = x^{4}\)
- \(-x^{3} + x^{3} - x^{3} = -x^{3}\)
- \(x^{2} - x^{2} + x^{2} = x^{2}\)
- \(-x + x = 0\)
- O termo constante é \(1\).
Então, sobra:
\[
x^{6} + x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1
\]
Resposta
A identidade está correta: \(\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right) = x^{6}+x^{4}-x^{3}+x^{2}+1\).