Seja (u, v) uma base ortogonal. Mostre que para w, vetor,
w=proju w+projv w

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma base ortogonal formada pelos vetores e . A pergunta quer que a gente mostre que qualquer vetor pode ser escrito como a soma das projeções de sobre e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como calcular projeções de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linhaarly independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Quando a base é ortogonal, isso significa que os vetores da base são perpendiculares entre si, ou seja, o produto escalar entre u cdot v = 0 e é zero:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre projeção de um vetor em outro vetor. A projeção de proju w = ( w cdot uu cdot u ) u sobre projv w = ( w cdot vv cdot v ) v , denotada por , é o vetor que representa a “sombra” de na direção de . A fórmula para calcular essa projeção é:
Analogamente, a projeção de sobre é:

Passo 4

Como a base proju w + projv w = ( w cdot uu cdot u ) u + ( w cdot vv cdot v ) v é ortogonal, sabemos que . Isso simplifica a representação da projeção. Vamos somar as duas projeções:
Como a base é ortogonal, essa soma representa exatamente a decomposição do vetor nas direções de e .

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer vetor w = proju w + projv w , temos:

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