Seja
uma base ortogonal. Mostre que para
, vetor,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma base ortogonal formada pelos vetores
e
. A pergunta quer que a gente mostre que qualquer vetor
pode ser escrito como a soma das projeções de
sobre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como calcular projeções de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linhaarly independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Quando a base é ortogonal, isso significa que os vetores da base são perpendiculares entre si, ou seja, o produto escalar entre
e
é zero:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre projeção de um vetor em outro vetor. A projeção de
sobre
, denotada por
, é o vetor que representa a “sombra” de
na direção de
. A fórmula para calcular essa projeção é:
Analogamente, a projeção de
sobre
é:
Passo 4
Como a base
é ortogonal, sabemos que
. Isso simplifica a representação da projeção. Vamos somar as duas projeções:
Como a base é ortogonal, essa soma representa exatamente a decomposição do vetor
nas direções de
e
.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer vetor
, temos:
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Sejam
e
, vetores ambos não nulos. Mostre que são equivalentes:
(1) e têm mesmo sentido,
(2)
(3)
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de e
serem paralelos de sentidos contrátrios.
(1)
(2)
(3)
Apresente equivalências análogas a estas para o fato de
Sejam
e
, vetores. Mostre que:
Mostre ainda, que vale a igualdade se, e somente se,
.
Dados os vetores
e
, calcular:
(1)
(1)
Ache o ângulos entre
e
, para os casos:
(1) e
(1)