Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de R^3 : W=(x, y, z) mid x, z in R, 2 x+3 y=5 z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar saber o que caracteriza um subespaço vetorial e aplicar esses critérios a .

Passo 2

Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor está em ?
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então a soma também está em ?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 2(0) + 3(0) = 5(0) implies 0 = 0 :
Substituímos , e na equação que define :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se 2x1 + 3y1 = 5z1 é fechado sob adiç��o:
Considere dois vetores em 2x2 + 3y2 = 5z2 , digamos 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = 2x1 + 2x2 + 3y1 + 3y2 = (2x1 + 3y1) + (2x2 + 3y2) = 5z1 + 5z2 = 5(z1 + z2) e . Eles satisfazem:
Queremos saber se a soma também está em . Vamos somar as duas equações:
Portanto, , o que mostra que a soma também satisfaz a equação de . Assim, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se 2x + 3y = 5z é fechado sob multiplicação por escalar:
Considere um vetor 2(kx) + 3(ky) = 5(kz) implies 2(kx) + 3(ky) = 5(kz) em e um escalar . A equação que define é:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso significa que o vetor também satisfaz a equação de , logo está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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