Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar saber o que caracteriza um subespaço vetorial e aplicar esses critérios a
.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em ? - Fechado sob adição: Se
e estão em , então a soma também está em ? - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
Substituímos
,
e
na equação que define
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adiç��o:
Considere dois vetores em
, digamos
e
. Eles satisfazem:
Queremos saber se a soma
também está em
. Vamos somar as duas equações:
Portanto,
, o que mostra que a soma também satisfaz a equação de
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Considere um vetor
em
e um escalar
. A equação que define
é:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso significa que o vetor
também satisfaz a equação de
, logo está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Seja
e
Se dois vetores
e
estão em
, será que
está em
? Por quê ?
Seja
o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por:
Como a multiplicação por escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor por um escalar.
é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique.
Para quais valores de
os vetores
e
formam um conjunto linearmente dependente (LD) em
.
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
: