Seja V o espaço das matrizes 2 times 2 sobre R, e seja W o subespaço gerado por
[cc 1 & -5 -4 & 2 ] ;[cc 1 & 1 -1 & 5 ] ;[cc 2 & -4 -5 & 7 ] ;[cc 1 & -7 -5 & 1 ]
Encontre uma base, e a dimensão de W.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema nos apresenta um espaço formado por matrizes com números reais e um subespaço gerado por quatro matrizes específicas. Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar a dimensão desse subespaço.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um subespaço e uma base.
  • Saber verificar se um conjunto de matrizes é linearmente independente.
  • Utilizar operações de linha para simplificar e encontrar a base.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as matrizes que geram o subespaço A1 = 1 & -5 -4 & 2 , A2 = 1 & 1 -1 & 5 , A3 = 2 & -4 -5 & 7 , A4 = 1 & -7 -5 & 1 :

Passo 3

Para facilitar, vamos tratar cada matriz como um vetor em A1 = (1, -5, -4, 2), A2 = (1, 1, -1, 5), A3 = (2, -4, -5, 7), A4 = (1, -7, -5, 1) (já que cada matriz tem 4 elementos). Assim, reescrevemos as matrizes da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos montar uma matriz onde cada uma dessas “linhas” representa uma das matrizes acima:
M = 1 & -5 & -4 & 2 1 & 1 & -1 & 5 2 & -4 & -5 & 7 1 & -7 & -5 & 1
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para identificar quais vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss.

Passo 5

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1-1, 1-(-5), -1-(-4), 5-2) = (0, 6, 3, 3) ).
  1. Linha 2: Subtrai a Linha 1 da Linha 2:
    (2-2, -4-(-10), -5-(-8), 7-4) = (0, 6, 3, 3)
  2. Linha 3: Subtrai 2 vezes a Linha 1 da Linha 3:
    (1-1, -7-(-5), -5-(-4), 1-2) = (0, -2, -1, -1)
  3. Linha 4: Subtrai a Linha 1 da Linha 4:
    M = 1 & -5 & -4 & 2 0 & 6 & 3 & 3 0 & 6 & 3 & 3 0 & -2 & -1 & -1
Nossa matriz agora fica:

Passo 6

Observamos que as Linhas 2 e 3 são idênticas, então podemos eliminar a Linha 3, pois ela não acrescenta informações novas.
Agora, nossa matriz é:
M = 1 & -5 & -4 & 2 0 & 6 & 3 & 3 0 & -2 & -1 & -1

Passo 7

Vamos agora trabalhar com a segunda coluna. O pivô aqui é 6 na posição 13 times Linha 2 + Linha 3 = (0 + 0, 2 + (-2), 1 + (-1), 1 + (-1)) = (0, 0, 0, 0) .
  1. Linha 3: Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô (que é -2). Para isso, multiplicamos a Linha 2 por M = 1 & -5 & -4 & 2 0 & 6 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 0 e somamos à Linha 3:
Agora, a matriz fica:

Passo 8

Agora, nossa matriz está em forma escalonada, e podemos identificar quais linhas são independentes. As linhas 1 e 2 são não nulas e diferentes, então elas são linearmente independentes.

Passo 9

Portanto, as duas primeiras linhas correspondem a duas matrizes que formam uma base para B1 = 1 & -5 -4 & 2 , B2 = 1 & 1 -1 & 5 . Vamos retornar essas matrizes originais:

Resposta

Uma base para 1 & -5 -4 & 2 e 1 & 1 -1 & 5 é formada pelas matrizes
A dimensão de é igual a 2.

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