Seja o espaço das matrizes sobre , e seja o subespaço gerado por
Encontre uma base, e a dimensão de .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema nos apresenta um espaço formado por matrizes com números reais e um subespaço gerado por quatro matrizes específicas. Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar a dimensão desse subespaço.
O que vamos precisar:
Entender o que é um subespaço e uma base.
Saber verificar se um conjunto de matrizes é linearmente independente.
Utilizar operações de linha para simplificar e encontrar a base.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as matrizes que geram o subespaço :
Passo 3
Para facilitar, vamos tratar cada matriz como um vetor em (já que cada matriz tem 4 elementos). Assim, reescrevemos as matrizes da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz onde cada uma dessas “linhas” representa uma das matrizes acima:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para identificar quais vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss.
Passo 5
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1-1, 1-(-5), -1-(-4), 5-2) = (0, 6, 3, 3) ).
Vamos agora trabalhar com a segunda coluna. O pivô aqui é 6 na posição 13 times Linha 2 + Linha 3 = (0 + 0, 2 + (-2), 1 + (-1), 1 + (-1)) = (0, 0, 0, 0) .
Linha 3: Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô (que é -2). Para isso, multiplicamos a Linha 2 por M = 1 & -5 & -4 & 2 0 & 6 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 0 e somamos à Linha 3:
Agora, a matriz fica:
Passo 8
Agora, nossa matriz está em forma escalonada, e podemos identificar quais linhas são independentes. As linhas 1 e 2 são não nulas e diferentes, então elas são linearmente independentes.
Passo 9
Portanto, as duas primeiras linhas correspondem a duas matrizes que formam uma base para B1 = 1 & -5 -4 & 2 , B2 = 1 & 1 -1 & 5 . Vamos retornar essas matrizes originais:
Resposta
Uma base para 1 & -5 -4 & 2 e 1 & 1 -1 & 5 é formada pelas matrizes