• Para qual valor de k o vetor u=(1,-2, k) em R^3 será uma combinação linear dos vetores v=(3,0,-2) e w=(2,-1,-5) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Isso significa que queremos expressar como , onde e são números que a gente precisa descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação (1, -2, k) = a cdot (3, 0, -2) + b cdot (2, -1, -5) de forma mais detalhada usando as componentes dos vetores:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares (1, -2, k) = (3a, 0 cdot a, -2a) + (2b, -1b, -5b) e (1, -2, k) = (3a + 2b, 0 + (-b), -2a + (-5b)) dentro dos vetores:

Passo 4

Igualamos cada componente dos vetores:
3a + 2b = 1 -b = -2 -2a - 5b = k

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
-b = -2 Rightarrow b = 2

Passo 6

Com o valor de 3a + 2(2) = 1 3a + 4 = 1 3a = 1 - 4 3a = -3 a = -1 , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Agora que temos -2(-1) - 5(2) = k 2 - 10 = k k = -8 e , substituímos na terceira equação para achar :

Resposta

O valor de que faz ser uma combinação linear de e é .

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