Seja um espaço vetorial com produto interno . Prove que é um subespaço de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o complemento ortogonal de , que chamamos de , é um subespaço do espaço vetorial que tem um produto interno . Basicamente, a matéria que vamos usar aqui é sobre espaços vetoriais, subespaços e produto interno. Precisamos verificar se satisfaz as condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele é formado por todos os vetores de que são ortogonais a todo vetor de . Em termos matemáticos:
Isso significa que cada vetor em faz um ângulo de 90 graus com todos os vetores de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a primeira condição para ser um subespaço: conter o vetor zero. Sabemos que para qualquer vetor ,
Então, o vetor zero está em , pois ele é ortogonal a todos os vetores de .

Passo 4

A segunda condição é que seja fechado sob adição. Ou seja, se temos dois vetores e em , a soma também deve estar em . Vamos verificar:
Para todo ,
Então, está em .

Passo 5

A terceira condição é que seja fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se está em e é um escalar, então também deve estar em . Vamos verificar:
Para todo ,
Logo, está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é de fato um subespaço de .

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a)
b)
c)