Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Prove que U^perp é um subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o complemento ortogonal de , que chamamos de , é um subespaço do espaço vetorial que tem um produto interno . Basicamente, a matéria que vamos usar aqui é sobre espaços vetoriais, subespaços e produto interno. Precisamos verificar se satisfaz as condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal U^perp = v in V mid lang<= v, u rang<= = 0 para todo u in U . Ele é formado por todos os vetores de que são ortogonais a todo vetor de . Em termos matemáticos:
Isso significa que cada vetor em faz um ângulo de 90 graus com todos os vetores de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a primeira condição para lang<= 0, u rang<= = 0 ser um subespaço: conter o vetor zero. Sabemos que para qualquer vetor ,
Então, o vetor zero está em , pois ele é ortogonal a todos os vetores de .

Passo 4

A segunda condição é que lang<= v1 + v2, u rang<= = lang<= v1, u rang<= + lang<= v2, u rang<= = 0 + 0 = 0 seja fechado sob adição. Ou seja, se temos dois vetores e em , a soma também deve estar em . Vamos verificar:
Para todo ,
Então, está em .

Passo 5

A terceira condição é que lang<= c v, u rang<= = c lang<= v, u rang<= = c cdot 0 = 0 seja fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se está em e é um escalar, então também deve estar em . Vamos verificar:
Para todo ,
Logo, está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é de fato um subespaço de .

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