Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Prove que
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o complemento ortogonal de
, que chamamos de
, é um subespaço do espaço vetorial
que tem um produto interno
. Basicamente, a matéria que vamos usar aqui é sobre espaços vetoriais, subespaços e produto interno. Precisamos verificar se
satisfaz as condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal
. Ele é formado por todos os vetores de
que são ortogonais a todo vetor de
. Em termos matemáticos:
Isso significa que cada vetor em
faz um ângulo de 90 graus com todos os vetores de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a primeira condição para
ser um subespaço: conter o vetor zero. Sabemos que para qualquer vetor
,
Então, o vetor zero está em
, pois ele é ortogonal a todos os vetores de
.
Passo 4
A segunda condição é que
seja fechado sob adição. Ou seja, se temos dois vetores
e
em
, a soma
também deve estar em
. Vamos verificar:
Para todo ,
Para todo
Então,
está em
.
Passo 5
A terceira condição é que
seja fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um escalar, então
também deve estar em
. Vamos verificar:
Para todo ,
Para todo
Logo,
está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é de fato um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
subespaços de
um espaço vetorial sobre um corpo
. Mostre que
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.
(Teorema de Pitágoras). Prove que,
se, e somente se,
, onde
.
Sejam
e
vetores em
. Quais dos vetores
e
são combinações lineares dos vetores
e
?
Seja
. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
?
a)
b)
c)
a)
b)
c)